Gleichung mit komplexen Zahlen lösen

Aufrufe: 950     Aktiv: 06.08.2019 um 12:31
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Hallo,

ich habe hier eine Gleichung wo die komplexe Zahl i im Nenner eines Bruches steht. Wie gehe ich da dran? Ich kann ja theoretisch den Bruch zu \(4*i^-1\) umwandeln aber darf man das?

Aufgabe ist: Geben Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung in der Form a+b*i mit a,b aus R an:

 

\(z^2 = 4/i\)

 

Kann mir da bitte jemand helfen? Ich schreibe in ein paar Tagen die Klausur und weiß echt nicht, wie man das machen soll.

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Hallo,

setze \( w = z^2 = \frac 4 i \) und bring die komplexe Zahl in kartesische Form \( w = a + bi \) indem du 4 durch i teilst. 
Ist dir klar wie man komplexen Zahlen dividiert?

Das radizieren gestaltet sich in kartesische Form allerdings als wesentlich komplizierter, deshalb wäre es am sinnvollsten den Ausdruck in die Eulerdarstellung \( w = r e^{i \varphi} \) zu bringen. Es gilt nun

\( z = \sqrt{w} = \sqrt{r} e^{i \frac {\varphi +2k\pi} 2} \) mit \( k \in \{0,1\} \).

Für die einzelnen k's erhälst du dann deine Lösungen.

Grüße Christian

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Danke für Deine Antwort. Ich habe eine neue Antwort gepostet. Stimmt das so?   ─   pattir74 05.08.2019 um 14:01

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Hallo Christian,

 

danke für Deine Antwort. Ich habe es jetzt folgendermaßen geamcht, um die Gleichung in die Form zu bringen:

 

Die Gesamtlösung (ohne die letzte Gleichung auszurechnen):

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Jap das stimmt soweit. :)
Also ist \( a =0 \) und \( b = -4 \).

Grüße Christian   ─   christian_strack 05.08.2019 um 14:28
Cool, alles klar! Vielen Dank!!!   ─   pattir74 05.08.2019 um 14:46
Sehr gerne :)
Wenn du keine Fragen mehr hast, schließe diese Frage bitte in dem du auf das Häckchen links neben einer Antwort klickst.

Grüße Christian   ─   christian_strack 05.08.2019 um 14:54

Eine Frage habe ich dann doch noch :) Ich habe in meiner Antwort die nächsten Schritte nochmal angehängt. Passt das auch soweit?

Hinweis: Wir dürfen in der Klausur keinen Taschenrechner verwenden von daher müssen wir auch nicht z0 und z1 komplett ausrechnen
  ─   pattir74 05.08.2019 um 16:37
Der Winkel stimmt leider nicht. Stell dir das kartesische Koordinatensystem vor.Auf der x-Achse ist der Realteil und auf der y-Achse ist der Imaginärteil.
Unser Realteil ist Null also befinden wir uns nur auf der y-Achse. Da unser Imaginärteil negativ ist, befinden wir uns auf dem unteren Teil der y-Achse. Wir messen den Winkel von der positiven x-Achse aus.
Für gewöhnlich definiert man den Winkel in Polarkoordinaten im Intervall \( (-\pi , \pi] \). Deshalb haben wir auf der negativen y-Achse einen Winkel von 90° gegen den mathematischen Drehsinn, also haben wir einen Winkel von \( - \frac {\pi} 2 \).
Hier siehst du die Umrechnungsvorschrift : https://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Berechnung_des_Winkels_im_Intervall_(%E2%88%92%CF%80,_%CF%80]_bzw._(%E2%88%92180%C2%B0,180%C2%B0]

Grüße Christian   ─   christian_strack 05.08.2019 um 19:42
Ok, das habe ich soweit verstanden.

Das heißt folgendes trifft ebenfalls zu:
- Realteil = 0 Imaginärteil = 4 --> Winkel = \(π/2\)
- Realteil = 4 Imaginärteil = 0 --> Winkel = \(π\)
- Realteil = -4 Imaginärteil = 0 --> Winkel = \(-π\)
Stimt das?

Was macht man, wenn man z.B Realteil = 3 und Immaginärteil = 1 hat? Da kann man das doch nicht so einfach im Kopf ausrechnen, oder?

Vielen Dank für Deine Unterstützung!   ─   pattir74 06.08.2019 um 11:54
Beachte dass das Intervall \( (-\pi , \pi ] \) ist. \( -\pi \) kann als Winkel also nicht mehr vorkommen oder anders gesagt, bei \( - \pi \) befinden wir uns an der selben Stelle wie bei \( \pi \) (da es egal ist ob wir 180° gegen den mathematischen Drehsinn oder 180° im mathematischen Drehsinn drehen, wir kommen immer an der negativen x-Achse an).
Das Erste stimmt.
Wenn der Realteil positiv ist und der Imaginärteil Null, dann haben wir einen Winkel von 0. Wir bleiben ja auf der positiven x-Achse.
Der letzte Fall ist dann \( \pi \) wegen der obigen Beschreibung. Aber deine Überlegung war richtig.

Außerhalb der Achsen lässt sich das ganze nicht mehr wirklich ohne Taschenrechner bestimmen, da wir mit dem Tangens rechnen müssen (siehe Link aus meinem letzten Kommentar).
Manchmal wird vorausgesetzt das bestimmte Werte vom Sinus oder Kosinus bekannt sind, aber ob ihr das vom Tangens müsst glaube ich eher nicht. Ich denke es kommen ähnlich wie hier Aufgaben dran die man sich durch solche Überlegungen herleiten kann.

Grüße Christian   ─   christian_strack 06.08.2019 um 12:31

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