Faktorvariation Cobb-Douglas Produktionsfunktion

Aufrufe: 1163     Aktiv: 07.11.2019 um 09:32

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Liebe Mathegenies, 

Ich habe hier eine eine Funktion x=P(A, K) = 3A^0,3K^0,7

A=38 Std. K=15 (in Mio €

Bei der ich die partiellen Outputänderungen ermitteln soll, wenn die Inputs sich um dA bzw. dK ändern.

Soweit so gut, leider bekomme ich die Ableitung die ich benötige nicht hin, verfehlte das Ergebnis also immer wieder. 

 

Wie lauten die 1ten partiellen Ableitungen nach A und K? 

Das Ergebnis sagt mir für f'a(A, K) = 3K^0,7 0, 3A^-0,7

Ich verstehe nicht warum die 3 stehen bleibt, müsste ich nicht die 0,3 vorziehen und hätte dann 0,9A^-0,7 K^0,7?

 

Ich hoffe ihr könnt mir helfen 😊

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Hallo,

du hast eine Funktion mit mehreren Veränderlichen. Eine partielle Ableitung bezieht sich nur auf eine Variable. Die anderen werden beim Ableiten wir Parameter behandelt.

Also wir wollen die partiellen Ableitungen nach \( A \) berechnen.

$$ \frac {\partial P(A,K)} { \partial A} = \frac {\partial (3K^{0,7} A^{0,3})} { \partial A} = 3K^{0,7} \frac {\partial (A^{0,3})} { \partial A} $$

Durch die Faktorregel können wir \( 3K^{0,7} \) herausziehen und müssen nur noch \( A^{0,3} \) ableiten. Mit der Potenzregel erhalten wir als Ableitung 

$$ \frac {\partial (A^{0,3})} { \partial A} = 0,3A^{-0,7} $$

Also erhälst du als partielle Ableitung nach \( A \)

$$ 3K^{0,7} \cdot 0,3A^{-0,7} = 0,9 K^{0,7} A^{-0,3} $$

Versuch mal die partielle Ableitung nach \(K \) zu bestimmen. Ich gucke gerne nochmal drüber :)

Grüße Christian

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Ich verstehe absolut nicht, warum wir mit der Faktorregel die 3 raus ziehen können? Bei der Faktorregel bleibt die Zahl doch erstmal stehen und wir dann mit der Potenz malgenommen oder nicht?

Jetzt checke ich leider noch weniger als vorher 😁
  ─   anonym66a1d 02.11.2019 um 12:36

Das ist die Faktor und Potenzregel.
Die Faktorregel erlaubt uns einen Vorfaktor aus der Ableitung herauszuziehen.
Wenn du zum Beispiel \( 7x^2 \) ableitest, dann lässt man wie du schon sagst die \(7\) stehen (das passiert durch die Faktorregel) und wendest im Prinzip dann auf \( x^2 \) die Potenzregel an.
Wenn du nun partiell ableitest, dann behandelst du jede andere Variable wie einen Parameter (also im Prinzip wie eine Zahl wie zum Beispiel die 7) und lässt das alles erstmal stehen. Dann wendest du die Potenzregel an, um \( A^{0,3} \) abzuleiten.

Grüße Christian
  ─   christian_strack 02.11.2019 um 14:18

Vielen Dank lieber Christian! Habe es verstanden!   ─   anonym66a1d 05.11.2019 um 15:31

Das freut mich sehr zu hören :)

Grüße Christian
  ─   christian_strack 05.11.2019 um 15:32

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