Logische Frage..!

Aufrufe: 80     Aktiv: 06.02.2021 um 03:23
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Nein, betrachte mal die Folge \(a_n=(-1)^n\cdot \dfrac{1}{n}\). Es gilt:
\(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} a_n=0\), aber Null ist weder obere noch untere Schranke.

Hoffe das hilft weiter.
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mit dieser Aufgabe https://www.mathefragen.de/frage/q/ec7f0c88c1/grenzwert-monotonie/ mit der ich jetzt richtig hard kämpfe haben sie in der Müsterlösung angenommen dass die folge \( an+1 = \frac{1}{2}(an^{2}+1)\) und \(a1 = 0\) als Anfangswert hat ,gegen a konvergiert und dann als resultat ist der Grenzwert 1 .

und für beweis der obere Beschränktheit haben sie angenommen dass \( an+1 <1 \) aber warum kleiner als 1 ?.... weil das 1 angenommene Grenzwert ist ? aber was hat der Grenzwert mit Beschränkheit zu tun ?
  ─   adamk 06.02.2021 um 01:05

Ist eine Zahlenfolge durch einen bestimmten Wert beschränkt, muss dieser nicht automatisch der Grenzwert sein. (ist häufig so, muss es aber nicht). In deinem Beispiel sichert die Beschränktheit gemeinsam mit der Monotonie die Konvergenz, also "nur" die Existenz (oder Nichtexistenz) des Grenzwerts.
(1) Wäre eine Folge nur beschränkt (z.b. durch 1 nach oben und durch -1 nach unten) aber nicht monoton wachsend (oder fallend) dann könnte die Folge zwischen den Grenzen hin her herspringen, würde aber nicht konvergieren, wie z.b. \(a_n=(-1)^n\)
(2) Wäre eine Folge nur monoton wachsen (oder fallend) aber nicht nach oben (oder unten) beschränkt, würde sie also immer wieder wachsen (oder fallen) und damit nicht konvergieren, wie z.b. \(a_n=2^n\)
Zu deiner Folge:
(1) Egal ob das erste Folgeglied \(a_1\) den Anfangswert \(0\) oder \(2\) hat, die Folge ist monoton wachsend.
(2) Du schätzt deine Folge mit \(a_1=0\) nach oben gegen \(1\) ab. Damit ist sie nach oben beschränkt.
Somit ist sie monoton wachsend UND nach oben beschränkt. Damit konvergiert sie, in dem Fall auch gegen die \(1\). Die Folge mit \(a_1=2\) als Anfangswert ist aber nicht nach oben beschränkt. Da sie wegen der Monotonie aber immer weiter wächst (also nach oben immer größer wird), konvergiert sie nicht.
Wird es jetzt etwas klarer?
  ─   maqu 06.02.2021 um 01:54

also die Aufgabe und die Lösung verstehe ich ,ich verstehe fast alles ,der Fall \( a1 = 2 \) verstehe ich sehr gut.
mein Problem ist nur warm hat er die Folge \(an+1 < 1 \)..warum als 1 ? ... und ist die Beweis dass die Folge a1 = 0 mit Induktion Beweis der Beschränktheit ? diese 2 Punkte sind meine Schwirigket alles anderes verstehe ich..
  ─   adamk 06.02.2021 um 02:10

Man wählt hier 1 als Abschätzung nach oben, da dies gerade die kleinste obere Schranke ist. Du kannst auch 2 oder 5 oder 1000 wählen, solange es eine obere Schranke ist. Die Induktion macht man, weil du ja die Behauptung aufstellst, dass die Folge eben durch diesen Zahlenwert nach oben beschränkt ist. Wenn du das nicht beweisen würdest, könntest du auch sagen, dass die Folge nach oben durch z.B. -3 beschränkt ist, was sie aber nicht ist. Wie gesagt man wählt sich die 1, weil es die kleinste obere Schranke ist. Mit jeder anderen Zahl größer als 1 würde es genau so funktionieren. :)   ─   maqu 06.02.2021 um 02:17

Man hätte als obere Schranke auch 10 nehmen können. Wenn man sich die ersten Folgenglieder anschaut, sieht man, dass sie alle kleiner als 1 sind und kleiner werden. Also reicht es aus <1 zu zeigen. Du kannst jede Schranke wählen, um Beschränktheit zu zeigen. Man wählt aber häufig das naheliegendste.   ─   cauchy 06.02.2021 um 02:20

in der Musterlösung haben sie folgendes gesagt:
"es genügt \(an < 1 \) für alle \( n∈N \) zu zeigen. Mithilfe der Induktion ergibt sich das schnell. Erstens ist \(a1= 0<1\). Gilt \(an<1\)für ein\(n∈N\), so ist auch\(a^{2}n<12\)und daher\(an+1=12(an^{2}+ 1)<12(12+ 1) = 1\)"
sie haben nix geschätzt
  ─   adamk 06.02.2021 um 02:43

https://www.youtube.com/watch?v=yw5z0FtaRfY&t=123s
in diesem Vedio haben sie Grenzwert als -5 angenommen und dann die Beschränktheit durch -5 geschätzt ...😓😒😥
  ─   adamk 06.02.2021 um 02:45

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Nein. Betrachte die Folge \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\). Der Grenzwert ist offensichtlich 0, aber die Folge nimmt sowohl positive als auch negative Werte an. Die Schranken sind 0,5 und -1.
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mit dieser Aufgabe https://www.mathefragen.de/frage/q/ec7f0c88c1/grenzwert-monotonie/ mit der ich jetzt richtig hard kämpfe haben sie in der Müsterlösung angenommen dass die folge \( an+1 = \frac{1}{2}(an^{2}+1)\) und \(a1 = 0\) als Anfangswert hat ,gegen a konvergiert und dann als resultat ist der Grenzwert 1 .

und für beweis der obere Beschränktheit haben sie angenommen dass \( an+1 <1 \) aber warum kleiner als 1 ?.... weil das 1 angenommene Grenzwert ist ? aber was hat der Grenzwert mit Beschränkheit zu tun ?
  ─   adamk 06.02.2021 um 01:06

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