Die \(a_1\) sind jeweils deine Startwerte. Bei rekursiven Folgen braucht man immer einen Wert, mit dem man anfängt. Das ist meist \(a_1\) oder \(a_0\), je nach Definition.

Um die Beschränktheit zu zeigen, muss du irgendwie versuchen, die Folgen abzuschätzen. Da in der Aufgabe schon der Hinweis gegeben ist, dass der Grenzwert 1 sein soll, kannst du ja mal versuchen, die Folge durch 1 abzuschätzen. Das heißt, alle Folgenglieder sind kleiner als 1. Es ist auch immer hilfreich, sich mal die ersten Folgenglieder aufzuschreiben, um zu schauen, wie sich die Folge verhält. Wenn du das machst, sollten die Eigenschaften für den Fall \(a_1=1\) relativ schnell klar sein, sowohl die Beschränktheit als auch die Konvergenz. 

Bei Youtube findest du unter dem Suchbegriff "Konvergenz rekursiver Folgen" jede Menge Videos. Sie beziehen sich zwar nicht explizit auf deine Aufgabe, zeigen aber die grundsätzliche Vorgehensweise.

Vielleicht noch als Tipp ( ergäzend zu dem Hinweis aus der Antwort von oben, dass man zeigt, dass \(1\) eine obere Schranke für die Folge ist, falls für den Startwert \( |a_1| \leq 1\) gilt ):

Du musst auch noch den zweiten Teil des Hinweises aus der Aufgabenstellung zeigen, um den Grenzwert tatsächlich auszurechnen. Falls \(a_n\) konvergiert, dann gilt
\[ \lim _{n\to \infty} a_n = \lim _{n\to \infty} a_{n+1} .\]

Das kann man nun auf die definierende Gleichung von der rekursiven Folge anwenden und man erhält dann, dass der Grenzwert, falls er existieren sollte, \( 1\) seien muss.

Um die Aufgabe dann abschließend zu lösen, benutzt man den Satz, dass eine beschränkte monotone Folge in \( \mathbb R\) konvergiert.