Ich finde es auch ein Unding, wie die Aufgabe formuliert ist (um es vorsichtig auszudrücken).

Für die Berechnung ist es sinnvoll, die Beträge direkt los zu werden, das geht so:

\(\int\limits_0^L\int\limits_0^L |x-y|\,dxdy = \int\limits_0^L\left(\int\limits_0^y |x-y|\,dx + \int\limits_y^L |x-y|\,dx\right) dy = \int\limits_0^L\left(\int\limits_0^y (y-x)\,dx + \int\limits_y^L (x-y)\,dx\right) dy\).

Das schwierigste ist nun erledigt, wir sind nun bei einfachen einfachen ;-) Integralen angekommen:

Man berechnet die beiden inneren Integrale:

\(\int\limits_0^y (y-x)\,dx = \frac{y^2}2\) und \(\int\limits_y^L (x-y)\,dx = \frac{L^2}2-\frac{y^2}2-y(L-y)\), addiert und integriert nach \(y\) und erhält \(\frac{L^3}3\).

Also ich habe mich deinem Problem jetzt mal angenommen und mir die Mühe gemacht es auszurechnen und tatsächlich komme ich auch auf \(\dfrac{L^3}{3}\) als Ergebnis, aber nur wenn man wirklich davon ausgeht, dass man \(x_i\) für d\(x\) integriert und danach \(x_j\) für d\(x'\). (Btw unglaublich dass euch das so vorgelegt wird!)

Ich zeige dir mal kurz auf wie ich darauf komme und bezeichne die beiden Variablen (weil es so gängig ist) einfach mit \(x\) und \(y\). Wie ich auf die Stammfunktionen komme mache ich nicht Schritt für Schritt, sondern sag nur kurz, was ich mache um drauf zu kommen. Das würde sonst zu lange dauern. Also es gilt:

\(\displaystyle{\int_0^L \int_0^L |x-y|dxdy =\int_0^L \left[\dfrac{(x-y)|x-y|}{2}\right]_0^L dy}\)

(Substituiere \(z=x-y\), dann integriere partiell mit \(f'=1\) und \(g=|z|\), dann kommt wie üblich bei partieller Integration \(\int |z| dz\) auf beiden Seiten vor und man erhält \(\int |z| dz=\frac{z|z|}{2}\), dann noch rücksubstituieren)

\(\displaystyle{\int_0^L \left[\dfrac{(x-y)|x-y|}{2}\right]_0^L dy =\int_0^L \dfrac{(L-y)|L-y|}{2} +\dfrac{y|y|}{2} dy=\int_0^L -\dfrac{(y-L)|y-L|}{2} dy+\int_0^L \dfrac{y|y|}{2} dy =-\dfrac{1}{2} \int_0^L (y-L)|y-L|dy +\dfrac{1}{2} \int_0^L y|y|dy =-\dfrac{1}{2} \cdot \left[\dfrac{(y-L)^2|y-L|}{3}\right]_0^L +\dfrac{1}{2} \cdot \left[\dfrac{y^2|y|}{3}\right]_0^L}\)

(Beide Stammfunktionen sind gleich, wenn man im ersten Integral \(u=y-L\) substituiert ... am Beispiel des zweiten Integrals substituiert man \(z=|y|\), dann erhält man \(\int z^2dz\) welches man leicht aufleiten kann, danach noch rücksubstituieren)

\(\displaystyle{-\dfrac{1}{2} \cdot \left[\dfrac{(y-L)^2|y-L|}{3}\right]_0^L +\dfrac{1}{2} \cdot \left[\dfrac{y^2|y|}{3}\right]_0^L} =-\dfrac{1}{2} \cdot \left(-\dfrac{L^3}{3}\right) +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{L^3}{3} =\dfrac{L^3}{6} +\dfrac{L^3}{6} =\boxed{\dfrac{L^3}{3}}\)

Ich hoffe es ist alles nachvollziehbar. Beim bestimmen der einzelen Stammfunktionen versuchst du wie gesagt mal die einzelnen Schritte nachzurechnen.

Hoffe wirklich das hilft dir weiter.