Kovergenz von Folgen und Reihen in R

Erste Frage Aufrufe: 438     Aktiv: 02.04.2021 um 21:55

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Hallo liebe Matheenthusiasten und die, die es gern werden möchten,

 

Lerne gerade Mathe mehr oder minder eigenständig. Bin auf Daniels Playlist mit Folgen und Reihen gestoßen und habe eine einfache Frage, die mir hoffentlich jemand beantworten kann.

 

https://youtu.be/hfJvwQjCfek?t=295

 

Timestamp ist hinzugefügt.

 

Ich verstehe nicht so ganz die Art und Weise wie man durch Äquivalenzumformungen zu der Aussage am Ende mit 3/e kommt. Und zwar trampel ich etwas im Nebel warum auf einmal das Summenzeichen eine so große Rolle bei (1+1/x)^x spielt, wo es bei den vorherigen Äquivalenzumforumgen komplett ignoriert werden konnte.

 

Er wandelte die Formel nach den bekannten Bruch- und Potenzrechenregeln um und soweit konnte ich problemlos folgen. Der letzte Schritt... dass (1+1/x)^x auf einmal zu e wird.... kann mir bitte jemand erklären wo die Grenze zwischen den Äquivalenzumformungen und dem Sigma steckt? Ich dachte die wären unmittelbar getrennt, solange man umformt.

 

Das wirft gerade meine Realitätswahrnehmung um. Ich meine... Zahlenwahrnehmung....

 

Würde gerne diese arithmetische "Schwäche" stopfen.

 

Danke :)

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Ich verstehe nicht ganz, welches Problem du mit dem Summenzeichen hast, denn das wird dort nirgends verwendet. Benutzt wird hier das Quotientenkriterium, um zu zeigen, dass die Reihe divergiert. 

Das Resultat $$\lim_{k\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}=\mathrm{e}$$ ist ziemlich fundamental und wird hier natürlich verwendet. Für das Verständnis solltest du dir dazu einen eigenständigen Beweis heraussuchen. Oft wird es im Zusammenhang mit der Zinsrechnung (zumindest in der Schule) eingeführt. Was passiert, wenn ich einen Euro ein Jahr lang zu einem Zinssatz von 100 % verzinse und die Zinsen am Ende des Jahres gutgeschrieben werden? Was passiert, wenn ich den Zeitraum halbiere und die Zinsen halbjährlich gutgeschrieben werden? Was passiert bei vierteljährlicher Gutschrift, monatlicher Gutschrift, täglicher Gutschrift usw. Wenn man das mal durchrechnet, stellt man fest, dass mit immer kleineren Zinsperioden das Kapital am Ende des Jahres nicht größer wird als \(\mathrm{e}\). Probier es ruhig mal aus. :)
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