Zuerst einmal ist die Formulierung der Aufgabe problematisch, denn durch die Rotation der Funktion f(x) entsteht ein Rotationskörper und keine "ebene Figur". Dann gibt es mehrere Möglichkeiten des Herangehens. Da in der Aufgabenstellung ein Doppelintegral vorkommt, wollen wir diese Variante besprechen: Wenn die Achse nach oben die z-Achse sei, dann haben wir ein Doppelintegral in der xy-Ebene. In Polarkoordinaten läuft der Winkel von 0 bis \( 2 \pi\) und die Polarkoordinate r, die hier mit dem r der Aufgabenstellung übereinstimmt (was nicht immer der Fall ist!), läuft von 0 bis 2. Dann  kommt beim Übergang zu Polarkoordinaten noch ein r "hinzukommt". Schließlich geht f(x) in F(r) über.

Ich habe das alles in meinem Buch "Mathematik Klausurtrainer" ausführlicher beschrieben und viele Beispiele vorgerechnet. Vielleicht schaust Du da einmal rein. https://www.amazon.de/Mathematik-Klausurtrainer-Reinhard-Strehlow/dp/1973460513

Ja, Variablen zu ändern ist ja allgemein nicht schlimm. Solange du es am Ende wieder in den physikalischen Kontext beziehst dürfte das klappen.