Für die 1) zeige \(\mathrm{im}(f)=\mathrm{im}(f_1)\oplus\mathrm{im}(f_2)\), indem du beide Inklusionen nachrechnest, das ist nicht schwer. Versuch das mal selbst, wenn du nicht weiterkommst, kannst du gerne nachfragen. Durch Anwendung von \(\dim_K(-)\) auf beiden Seiten folgt dann die Behauptung.
Für die 2): Zeige, dass \(P_{f_1}\cdot P_{f_2}\) ein normiertes Polynom mit Grad \(\dim_K(V)\) (verwende (1)) mit \((P_{f_1}\cdot P_{f_2})(f(v))=0\) für alle \(v\in V\). Nach dem Satz von Cayley-Hamilton folgt dann \(P_f\ |\ P_{f_1}\cdot P_{f_2}\) und weil sie gleichen Grad haben und beide normiert sind, muss Gleichheit gelten.
Bei der 3) kenne ich die Notation \(a(\lambda,f)\) nicht, aber ich gehe davon aus, es ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts \(\lambda\) gemeint. Dann folgt das unmittelbar aus 2) und der eindeutigen Primfaktorzerlegung in \(K[X]\).