Additionstheoreme beweisen

Aufrufe: 97     Aktiv: 05.03.2022 um 18:34

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Die Additionstheoreme beweist man ja meistens mit Hilfe der Eulerformel
aufgrund der Eigenschaft e^(ix)*e^(iy) = e^(i(x+y)

Doch wenn man e^(ix) einfach dadurch definiert (oder macht man es anders?), dass man ix in die Taylorreihe von e^(y) einsetzt - woher weiß man dann, dass die oben genannte Eigenschaft mit komplexen Zahlen auch funktioniert? Würde man z.B e^(ix) einfach als 5 definieren, egal was man für x einsetzt, dann gilt die Eigenschaft nicht mehr.

Auch zum Beispiel die kleine Gauß Formel n(n+1)/2 für das aufsummieren von natürlichen Zahlen gilt in dieser einfachen Form nicht mehr, wenn man negative Zahlen einsetzt.

Müsste man also nicht die Eigenschaft beweisen, bevor man damit die Additionstheoreme beweist? Bzw. man könnte mit den Additionstheoreme die Eigenschaft beweisen
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Moin,
wie du schon gesagt hast, wird die Exponentialfunktion in der Regel als Potenzreihe definiert. Diese Funktion kann man daher einfacher Weise direkt von \(\mathbb{C} \text { nach }\mathbb{C}\) definieren, also \(z \Rightarrow \exp(z):=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}\). Dann kann man auch die Eigenschaft \(\exp(w)\cdot \exp(z)=\exp(w+z)\) beweisen (mithilfe des Cauchy Produktes), für alle komplexen Zahlen z,w. Dann kann man ohne weiteres die Additionstheoreme über \(\mathbb{C}\) herleiten.
LG
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Vielen Dank!   ─   ichwarhierschon 05.03.2022 um 18:34

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