aufgrund der Eigenschaft e^(ix)*e^(iy) = e^(i(x+y)

Doch wenn man e^(ix) einfach dadurch definiert (oder macht man es anders?), dass man ix in die Taylorreihe von e^(y) einsetzt - woher weiß man dann, dass die oben genannte Eigenschaft mit komplexen Zahlen auch funktioniert? Würde man z.B e^(ix) einfach als 5 definieren, egal was man für x einsetzt, dann gilt die Eigenschaft nicht mehr.

Auch zum Beispiel die kleine Gauß Formel n(n+1)/2 für das aufsummieren von natürlichen Zahlen gilt in dieser einfachen Form nicht mehr, wenn man negative Zahlen einsetzt.

Müsste man also nicht die Eigenschaft beweisen, bevor man damit die Additionstheoreme beweist? Bzw. man könnte mit den Additionstheoreme die Eigenschaft beweisen