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Moin,
$K_0$ ist in diesem Konetext dasselbe wie $\mathbb{F}_p$, und man kann sogar zeigen, dass der Primkörper eines Körpers endlicher Charakteristik immer isomorph zu $\mathbb{F}_p$ sein muss. Also ist $K_0\subset K$ ein Körper und K eine Körpererweiterung. Die Basis von $K$ über $K_0$ ist endlich, und enthält n Elemente. Eigenschaft einer Basis ist, dass jedes Element als eindeutige Linearkombination der Basiselemente geschrieben werden kann. Nennen wir die Basisvektoren $b_1,...,b_n$. Dann gibt es für die Wahl des Koeffizienten von $b_i$ in einer Linearkombination genau $p$ Möglichkeiten. Es gibt also für jeden der $n$ Vektoren $p$ Möglichkeiten und jede Möglichkeit erzeugt ein neues Element (weil die Darstellung eindeutig ist). Insgesamt hat $K$ also $p*p*...*p=p^n$ Elemente und $K\cong\mathbb{F}_{p^n}$.
LG
$K_0$ ist in diesem Konetext dasselbe wie $\mathbb{F}_p$, und man kann sogar zeigen, dass der Primkörper eines Körpers endlicher Charakteristik immer isomorph zu $\mathbb{F}_p$ sein muss. Also ist $K_0\subset K$ ein Körper und K eine Körpererweiterung. Die Basis von $K$ über $K_0$ ist endlich, und enthält n Elemente. Eigenschaft einer Basis ist, dass jedes Element als eindeutige Linearkombination der Basiselemente geschrieben werden kann. Nennen wir die Basisvektoren $b_1,...,b_n$. Dann gibt es für die Wahl des Koeffizienten von $b_i$ in einer Linearkombination genau $p$ Möglichkeiten. Es gibt also für jeden der $n$ Vektoren $p$ Möglichkeiten und jede Möglichkeit erzeugt ein neues Element (weil die Darstellung eindeutig ist). Insgesamt hat $K$ also $p*p*...*p=p^n$ Elemente und $K\cong\mathbb{F}_{p^n}$.
LG
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fix
Student, Punkte: 3.85K
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Vielen Dank erstmal für deine Antwort, hier noch ein paar Nachfragen:
1. Wenn ich zeige dass $K_0$ ein UVR von $K$ ist, kann man dann automatisch folgern, dass $K$ ein Vektorraum ist, oder bedarf es da noch irgendwelcher Erklärungen? Weil ich mir halt denke, dass es ja womöglich schon einen Unterschied macht, ob ich die Axiome für einen VR oder für einen UVR prüfe.
2. Sagen wir also $K$ hat die Basis $b_1,...,b_n$ und ich kann jedes $a \in K$ schreiben als Linearkombination $a=\sum \limits_{n=0}^{n}\lambda_i a_i$ warum stammen dann die Koeffizienten $\lambda _i$ aus der Menge $K_0$?
3. In der Menge $K_0$ sind $p$ viele Elemente enthalten, deshalb gibt es für jeden Koeffizienten $\lambda _i$ p Möglichkeiten zu Auswahl. Ist dann die Darstellung eindeutig, weil die Elemente in $K_0$ alle paarweise verschieden sind?
─ debiant3x 15.04.2023 um 10:59
1. Wenn ich zeige dass $K_0$ ein UVR von $K$ ist, kann man dann automatisch folgern, dass $K$ ein Vektorraum ist, oder bedarf es da noch irgendwelcher Erklärungen? Weil ich mir halt denke, dass es ja womöglich schon einen Unterschied macht, ob ich die Axiome für einen VR oder für einen UVR prüfe.
2. Sagen wir also $K$ hat die Basis $b_1,...,b_n$ und ich kann jedes $a \in K$ schreiben als Linearkombination $a=\sum \limits_{n=0}^{n}\lambda_i a_i$ warum stammen dann die Koeffizienten $\lambda _i$ aus der Menge $K_0$?
3. In der Menge $K_0$ sind $p$ viele Elemente enthalten, deshalb gibt es für jeden Koeffizienten $\lambda _i$ p Möglichkeiten zu Auswahl. Ist dann die Darstellung eindeutig, weil die Elemente in $K_0$ alle paarweise verschieden sind?
─ debiant3x 15.04.2023 um 10:59
1) Jeder Untervektorraum ist ein Vektorraum, Umgekehrt ist ein UVR nur von einem VR definiert.
2) Man sagt, dass es eine Basis von $K$ über $K_0$ gibt, wenn die Koeffizienten (bei dir die $\lambda_i$) aus $K_0$ stammen.
3) Die Darstellung ist eindeutig, weil die $b_i$ eine Basis bildeten, dass ist gerade eine der Eigenschaften der Basis. ─ fix 15.04.2023 um 15:49
2) Man sagt, dass es eine Basis von $K$ über $K_0$ gibt, wenn die Koeffizienten (bei dir die $\lambda_i$) aus $K_0$ stammen.
3) Die Darstellung ist eindeutig, weil die $b_i$ eine Basis bildeten, dass ist gerade eine der Eigenschaften der Basis. ─ fix 15.04.2023 um 15:49
