Beweis verstehen: Im endlichen Körper gilt: $|K| = p^n$

Aufrufe: 450     Aktiv: 16.04.2023 um 21:08

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Folgende Aussage sei gegeben: Sei K ein endlicher Körper. Dann gilt $|K| = p^n$ für eine Primzahl p und ein $n \in \mathbb{N}$. Die Primzahl p ist die Charakteristik von K.

Zum Beweis:

Da der Körper nur endlich viele Elemente enthält, also: $\vert K \vert < \infty$ existiert immer ein $n \in \mathbb{N} \backslash\{0\}$, sodass: $n \cdot 1 = 0$. Also ist $\operatorname{char}(K)=p$ eine Primzahl ist.
[Soweit so gut]


Die Menge \( K_{0}= \) \( \{s 1 \mid s=0,1, \ldots, p-1\} \subseteq K \) ist bezüglich der auf \( K \) gegebenen Addition und Multiplikation selbst ein Körper.
[Hier wird versucht, die Thematik der Erweiterungskörper in gewisser Weise zu umgehen, was mir das Leben etwas schwerer macht. Der Beweis, dass die Menge $K_0$ tatsächlich ein Körper ist, wäre nochmal eine Thematik für einen anderen Thread. Was mir halt nicht so ganz klar ist, warum ich diesen Körper genau so definiere. Er enthält p-viele Elemente und macht auf mich den Eindruck, dass eigentlich sowas wie $\mathbb{F}_p \subset K$ gezeigt werden soll]

 

Somit ist \( K_{0} \) ein Unterkörper von \( K \). Insbesondere ist also \( K \) ein Vektorraum über \( K_{0} \) und wegen \( |K|<\infty \) von endlicher Dimension \( n \) über \( K_{0} \).
[Das $K_0$ ein Unterkörper von $K$ ist, ist soweit klar. Dass $K$ ein VR über $K_0$ sein soll, würde ich jetzt mal damit übersetzten, dass $K_0$ ein UVR ist, was sich auch noch gut zeigen lässt. Dass die Dimension des UVR natürlich kleiner gleich der des normalen VRes sein muss, ist auch klar]

 

Es folgt \( |K|=\left|K_{0}\right|^{n}=p^{n} \)
[Diese Folgerung ist mir unklar. Gibt es da irgendwo einen Isomorphismus von dem ich nichts weiß? Nach meinem Verständnis müsste dann ja eigentlich gezeigt werden, dass $K \cong (K_0)^n$]


Ich würde mich freuen, wenn mir da weitergeholfen würde. :D

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Du schreibst: "Dass \( K \) ein VR über \( K_0 \) sein soll, würde ich jetzt mal damit übersetzen, dass \( K_0 \) ein UVR ist." Das ist so nicht gemeint. Für einen Vektorraum braucht man immer einen Grundkörper. Dass \( K \) ein Vektorraum über \( K_0 \) ist, bedeutet, dass \( K_0 \) hier der Grundkörper ist. Man sagt auch, dass \( K \) ein \( K_0 \)-Vektorraum ist.   ─   42 15.04.2023 um 17:50
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Moin,
 $K_0$ ist in diesem Konetext dasselbe wie $\mathbb{F}_p$, und man kann sogar zeigen, dass der Primkörper eines Körpers endlicher Charakteristik immer isomorph zu $\mathbb{F}_p$ sein muss. Also ist $K_0\subset K$ ein Körper und K eine Körpererweiterung. Die Basis von $K$ über $K_0$ ist endlich, und enthält n Elemente. Eigenschaft einer Basis ist, dass jedes Element als eindeutige Linearkombination der Basiselemente geschrieben werden kann. Nennen wir die Basisvektoren $b_1,...,b_n$. Dann gibt es für die Wahl des Koeffizienten von $b_i$ in einer Linearkombination genau $p$ Möglichkeiten. Es gibt also für jeden der $n$ Vektoren $p$ Möglichkeiten und jede Möglichkeit erzeugt ein neues Element (weil die Darstellung eindeutig ist). Insgesamt hat $K$ also $p*p*...*p=p^n$ Elemente und $K\cong\mathbb{F}_{p^n}$.
LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

Vielen Dank erstmal für deine Antwort, hier noch ein paar Nachfragen:
1. Wenn ich zeige dass $K_0$ ein UVR von $K$ ist, kann man dann automatisch folgern, dass $K$ ein Vektorraum ist, oder bedarf es da noch irgendwelcher Erklärungen? Weil ich mir halt denke, dass es ja womöglich schon einen Unterschied macht, ob ich die Axiome für einen VR oder für einen UVR prüfe.

2. Sagen wir also $K$ hat die Basis $b_1,...,b_n$ und ich kann jedes $a \in K$ schreiben als Linearkombination $a=\sum \limits_{n=0}^{n}\lambda_i a_i$ warum stammen dann die Koeffizienten $\lambda _i$ aus der Menge $K_0$?

3. In der Menge $K_0$ sind $p$ viele Elemente enthalten, deshalb gibt es für jeden Koeffizienten $\lambda _i$ p Möglichkeiten zu Auswahl. Ist dann die Darstellung eindeutig, weil die Elemente in $K_0$ alle paarweise verschieden sind?

  ─   debiant3x 15.04.2023 um 10:59

1) Jeder Untervektorraum ist ein Vektorraum, Umgekehrt ist ein UVR nur von einem VR definiert.
2) Man sagt, dass es eine Basis von $K$ über $K_0$ gibt, wenn die Koeffizienten (bei dir die $\lambda_i$) aus $K_0$ stammen.
3) Die Darstellung ist eindeutig, weil die $b_i$ eine Basis bildeten, dass ist gerade eine der Eigenschaften der Basis.
  ─   fix 15.04.2023 um 15:49

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der Isomorphismus der verwendet wurde ist \(V\cong k^n\) für jeden \(k\)-VR mit \(\dim_kV=n\). Hier ist \(k=K_0\) und \(V=K\)
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Student, Punkte: 10.87K

 

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Gehe ich korrekt von der Annahme aus, dass es grundsätzlich egal ist, ob ich eine Abbildung \( \phi: K_{0} \rightarrow \mathbb{Z}_{p} \) definiere durch \( a 1 \mapsto a+p \mathbb{Z} \) für \( 0 \leq a \leq p-1 \) oder eine Abbildung $\phi_1: \mathbb{Z}_{p} \rightarrow K_0 \quad a \mapsto a \cdot 1$?   ─   debiant3x 16.04.2023 um 20:16

Ja, beide Abbildungen sind invers zueinander (beide Körper sind isomorph).   ─   mathejean 16.04.2023 um 21:08

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