Wie berechne ich den Grenzwert folgender Funktion?

Aufrufe: 810     Aktiv: 02.02.2021 um 10:43

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Hallo Zusammen

Ich müsste den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion \(f(x)=x^x\) an der Stelle \(x_0=0\) herausfinden.
Habe es mal wie folgt versucht, bin mir aber nicht sicher ob ich für das Sandwichtheorem eine solche Abschätzung machen darf.

Könnte sich das mal kurz jemand anschauen? (Mir ist bewusst dass es mit l'Hopital viel einfacher gehen würde, doch als wir diese Aufgabe bekommen haben, hatten wir ihn noch nicht eingeführt, daher versuche ich sie absichtlich ohne zu lösen;)

vielen Dank

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Ja ich glaube auch mit L'Hospital wärst du am schnellsten bei \(\underset{x\longrightarrow 0^+}{\lim} \dfrac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}\). Aber da du diesen nicht benutzen möchtest bzw. zu dem Zeitpunkt noch nicht benutzen durftest muss es auch anders gehen.

Ich glaube an der Stelle wo du \(\log(x)\) nach unten durch -1 abschätzt ist der Fehler. Du betrachtest ja \(0 < x< 1\) und damit würde \(-\infty < \log(x) < 0\) gelten, was für deine Abschätzung nicht weiter sinnvoll wäre.

Kannst du nicht eventuell \(u=\dfrac{1}{x}\) substituieren und dann \(\underset{u\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{\ln(\frac{1}{u})}{u}\) statt \(\underset{x\longrightarrow 0^+}{\lim} x\ln(x)\) berechnen. Der Grenzwert müsste der gleiche sein. Du kannst zunächst mit Hilfe der Logarithmengesetze umschreiben \(\ln(\frac{1}{u})=\ln(1)-\ln(u)=0-\ln(u)=-\ln(u)\). Somit folgt:

\(\underset{u\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{\ln(\frac{1}{u})}{u} =\underset{u\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{-\ln(u)}{u}\)

Ab hier solltest du sicherlich mit dem Sandwich-Theorem weiterkommen. Falls es hilft, hier noch ein hilfreiches Video dazu ;):
https://www.youtube.com/watch?v=QCAax866If4&t=25s



Hoffe das hilft weiter.
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ja macht sinn vielen dank. bei solchen abschätzungen muss mann wirklich einfach die richtige Idee im richten Moment haben   ─   karate 02.02.2021 um 08:38

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