Ja ich glaube auch mit L'Hospital wärst du am schnellsten bei \(\underset{x\longrightarrow 0^+}{\lim} \dfrac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}\). Aber da du diesen nicht benutzen möchtest bzw. zu dem Zeitpunkt noch nicht benutzen durftest muss es auch anders gehen.

Ich glaube an der Stelle wo du \(\log(x)\) nach unten durch -1 abschätzt ist der Fehler. Du betrachtest ja \(0 < x< 1\) und damit würde \(-\infty < \log(x) < 0\) gelten, was für deine Abschätzung nicht weiter sinnvoll wäre.

Kannst du nicht eventuell \(u=\dfrac{1}{x}\) substituieren und dann \(\underset{u\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{\ln(\frac{1}{u})}{u}\) statt \(\underset{x\longrightarrow 0^+}{\lim} x\ln(x)\) berechnen. Der Grenzwert müsste der gleiche sein. Du kannst zunächst mit Hilfe der Logarithmengesetze umschreiben \(\ln(\frac{1}{u})=\ln(1)-\ln(u)=0-\ln(u)=-\ln(u)\). Somit folgt:

\(\underset{u\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{\ln(\frac{1}{u})}{u} =\underset{u\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{-\ln(u)}{u}\)

Ab hier solltest du sicherlich mit dem Sandwich-Theorem weiterkommen. Falls es hilft, hier noch ein hilfreiches Video dazu ;):
https://www.youtube.com/watch?v=QCAax866If4&t=25s



Hoffe das hilft weiter.