Faktorgruppe ( Z / Z 7 ) ohne Null?

Aufrufe: 42     Aktiv: 25.06.2021 um 14:19

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Hallo, ich habe wieder ein kleines Verständnisproblem - (Z / Z 7) ist eine Faktorgruppe d.h. wiederrum eine Gruppe also 7k als Untergruppe von Z wird mit Z faktorisiert, wobei man dann zu der Struktur (Z / 7 Z) := (0 + 7k, 1 + 7k , ........, 6 + 7k) gelangt. Grundsätzlich scheitert es an zwei Dingen, die Zerlegung per se ist nach Definition ein a o U d.h. ich bin mir unsicher nach welcher Operation (Z / 7Z) faktorisiert wird (+ , *) , es würde grundsätzlich keinen Sinn machen (7Z) mit * zu faktorisieren, da ich dann quasi mit e faktorisiere und keine Nebenklassenzerlegung habe, bzw. auch nicht Z partitioniere, also muss die Partition genau G' := (0 + 7k, 1 + 7k , ........, 6 + 7k), die für sich ganz Z partitionieren.

Problem:
jetzt wäre es ja theoretisch möglich aus (Z / 7Z) ein Element, wie z.B. 2 zu entnehmen und eine zyklische, endliche Gruppe zu bilden <2> := {2^(1), 2^(2), 2^(3)= 1}, damit jedoch wäre die die Ordnung von |<2>| ja 3 und somit kein Teiler nach Langrange von |G'|

Ansatz
Ist die Lösung meines Problems einfach nur, dass (0 + 7k, ...... 6 + 7k) eigentlich keine Gruppe ist, da es für 0 kein Inverses nach Fermat gibt (auch wenn 7 Prim in Z), d.h. dieses G' wäre kein weitergedachter Restklassenring, der erst dann einen Körper bildet, wenn es eine Gruppe (und damit für alle a aus G ein inverses gibt?) - wäre das doch irgendwo logisch zu erklären, dann wäre aber (Z' / 7Z) := {1 + Z, .... 6 + Z} keine Partition von G, also müsste man 7Z extra betrachten? Also G = (Z' / 7Z) vereinigt mit 7Z? (also eigentlich genau entsprechend der Beschreibung einer Faktorgruppe (G (Z) / N (7k)) genau dann, wenn  |G : N| 2 ? -> aber eigentlich wären die Restklassen von G, dann ja nicht 2, sondern - wie in meiner Frage gestern - 7 und eine andere hinreichende Bedingung doch greift (a o N o b o N <=> (a o b) o N)

Tut mir leid, ist doch etwas länger geworden, aber vielleicht könnte mir erklären, ob ich einen Denkfehler habe (die Mächtigkeit |G : N| und |U| verwirrt nur ziemlich, also ja z.b. wenn man in der Faktorgruppe eine zyklische Gruppe erzeugen will, allenfalls würde das mit |Z*7| = 6 und |<2>| ja so funktionieren?)

Vielen Dank :)
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$\mathbb Z$ ist keine Gruppe bezüglich der üblichen Multiplikation, da z.B. $0$ oder $2$ keine Inverse haben. $7\mathbb Z$ ist eine Untergruppe, denn die Differenz von zwei Vielfachen von $7$ ist wieder ein Vielfaches von $7$. Da $\mathbb Z$ kommutativ ist, kann man auf dem Quotienten $\mathbb Z/7\mathbb Z=\{0+7\mathbb Z,1+7\mathbb Z,\ldots,6+7\mathbb Z\}$ eine Gruppenstruktur definieren, die von der großen Gruppe kommt, also von der Addition. Genauer setzt man $(a+7\mathbb Z)+(b+7\mathbb Z)=(a+b)+7\mathbb Z$. Damit kannst du dir überlegen, dass die von $2+7\mathbb Z$ erzeugte Untergruppe ganz $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ist, somit ist der Satz von Lagrange trivialerweise erfüllt.

Natürlich kann man auf $\mathbb Z/7\mathbb Z$ auch analog eine Multiplikation definieren, was aber keine Gruppenoperation ist, da $0$ kein Inverses hat. $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ist aber ein Körper, d.h. $(\mathbb Z/7\mathbb Z)^\times=(\mathbb Z/7\mathbb Z)\setminus\{0+7\mathbb Z\}$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation mit $6$ Elementen, und ja, hier hat die von $2$ erzeugte Untergruppe $3$ Elemente, was $6$ teilt. Du kannst $\mathbb Z/7\mathbb Z$ auch als Quotient des Rings $\mathbb Z$ und des Ideals $(7)$ sehen, woraus sofort folgt, dass $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ein Ring ist, und da $7$ eine Primzahl ist, auch sofort, dass $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ein Körper ist.

Klärt das deine Fragen? Ansonsten melde dich gern nochmal.
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