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$\mathbb Z$ ist keine Gruppe bezüglich der üblichen Multiplikation, da z.B. $0$ oder $2$ keine Inverse haben. $7\mathbb Z$ ist eine Untergruppe, denn die Differenz von zwei Vielfachen von $7$ ist wieder ein Vielfaches von $7$. Da $\mathbb Z$ kommutativ ist, kann man auf dem Quotienten $\mathbb Z/7\mathbb Z=\{0+7\mathbb Z,1+7\mathbb Z,\ldots,6+7\mathbb Z\}$ eine Gruppenstruktur definieren, die von der großen Gruppe kommt, also von der Addition. Genauer setzt man $(a+7\mathbb Z)+(b+7\mathbb Z)=(a+b)+7\mathbb Z$. Damit kannst du dir überlegen, dass die von $2+7\mathbb Z$ erzeugte Untergruppe ganz $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ist, somit ist der Satz von Lagrange trivialerweise erfüllt.
Natürlich kann man auf $\mathbb Z/7\mathbb Z$ auch analog eine Multiplikation definieren, was aber keine Gruppenoperation ist, da $0$ kein Inverses hat. $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ist aber ein Körper, d.h. $(\mathbb Z/7\mathbb Z)^\times=(\mathbb Z/7\mathbb Z)\setminus\{0+7\mathbb Z\}$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation mit $6$ Elementen, und ja, hier hat die von $2$ erzeugte Untergruppe $3$ Elemente, was $6$ teilt. Du kannst $\mathbb Z/7\mathbb Z$ auch als Quotient des Rings $\mathbb Z$ und des Ideals $(7)$ sehen, woraus sofort folgt, dass $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ein Ring ist, und da $7$ eine Primzahl ist, auch sofort, dass $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ein Körper ist.
Klärt das deine Fragen? Ansonsten melde dich gern nochmal.
Natürlich kann man auf $\mathbb Z/7\mathbb Z$ auch analog eine Multiplikation definieren, was aber keine Gruppenoperation ist, da $0$ kein Inverses hat. $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ist aber ein Körper, d.h. $(\mathbb Z/7\mathbb Z)^\times=(\mathbb Z/7\mathbb Z)\setminus\{0+7\mathbb Z\}$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation mit $6$ Elementen, und ja, hier hat die von $2$ erzeugte Untergruppe $3$ Elemente, was $6$ teilt. Du kannst $\mathbb Z/7\mathbb Z$ auch als Quotient des Rings $\mathbb Z$ und des Ideals $(7)$ sehen, woraus sofort folgt, dass $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ein Ring ist, und da $7$ eine Primzahl ist, auch sofort, dass $\mathbb Z/7\mathbb Z$ ein Körper ist.
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stal
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