Basis eines Vektorraumes

Aufrufe: 75     Aktiv: 07.09.2022 um 13:31

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Es geht darum eine Basis dieses Vektorraumes zu finden und zu beweisen, dass diese Basis tatsächlich eine ist.
Dazu muss per Definition gezeigt werden, dass die Menge den gesamten Vektorraum aufspannt und dass die einzelnen Basiselemente linear unabhängig sind.

Ich habe mir überlegt, dass jeder Vektor aus V eine Linearkombination dieser linearen Hülle ist und bin so auf die drei Vektoren gekommen, welche schon mal den ganzen Vektorraum aufspannen. Wie zeige ich nun, dass diese linear unabhängig sind?


Dazu müsste ich ja eigentlich die Rechnung machen $0=a*t*e^t + b*e^t + c*e^2t$ und zeigen dass $a=b=c=0$. Wie kriege ich dies hin?

Vielen Dank!
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Über welchem Körper ist der Vektorraum und woher kommt t? Das ist hier sehr wichtig zu wissen   ─   mathejean 07.09.2022 um 11:57

Bitte entschuldige. V ist der Untervektorraum des IR-Vektorraumes der differenzierbaren Funktionen. Somit auch t aus IR.   ─   jonase.gluch 07.09.2022 um 12:00

Okay, alles klar ich dachte zuerst wegen Notation es geht um Q VR und man muss mit trasendenz argumentieren   ─   mathejean 07.09.2022 um 12:02
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Es ist wichtig, dass wir wissen, dass wir mit Funktionen arbeiten,  die Notation der Aufgabe ist da sehr schlecht. Um richtig zu arbeiten wir haben die Gleichung \(ate^t+be^t+ce^{2t}=0 \ \forall t \in \mathbb{R} \Leftrightarrow at+b+ce^t=0 \ \forall t \in \mathbb{R}\). Setzte geschickte werde für \(t\) ein und ableiten!
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