Eine nicht-injektive Abbildung beweisen (?)

Aufrufe: 43     Aktiv: 13.02.2021 um 19:59

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Hi,

ich verstehe nicht, wieso Folgendes gilt:
Gegeben: f_3: P({1,2,3,4}) -> {0,1,2,3,4,5}
f_3 ist nicht injektiv , da
f_3({1})=|{1}|=1=|{2}|=f_3=(|{2}|)  und {1} ungleich {2}.

Woher weiß ich denn, dass sowohl  |{1}| als auch |{2}| auf 1 abbilden? Oder bildet die Potenzmenge auf die ganzen Menge und ich hätte |{1}| und |{2}| sind nur Beispiele?
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Ist die Funktion näher beschrieben? Was bedeutet das P?   ─   math stories 13.02.2021 um 19:46

Ja, tut mir leid. Habe vergesseb zu erwähnen, dass P die Potenzmenge sein soll.   ─   anonym 13.02.2021 um 19:47

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3 Antworten
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So wie es aussieht gilt \(f_3(M)=|M|\), das heißt die Funktion \(f_3\) gibt an, wie viele Elemente die Eingabemenge hat. Da sollte ja relativ schnell klar sein, warum die Funktion \(f_3\) nicht injektiv ist. Es gibt eben mehrere Mengen mit nur einem Element. Ansonsten ist es schwierig zu sagen, wenn die Funktion nicht näher bestimmt ist. Fehlen hier noch irgendwelche Informationen?
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Selbstständig, Punkte: 6.8K
 

Doch, Sie haben Recht. Ich habe mir jetzt angeguckt, wieso sie surjektiv ist und Ihre Erklärung ist richtig!   ─   anonym 13.02.2021 um 19:59

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Ich glaube hier fehlt noch etwas Information, vermute aber mal, dass die Funktion die Elemente zählt! Das erkennt man zumindest aus den Strichen | |. 
Die Teilmenge \(\{1\}\) hat genaus wie \(\{2\}\) ein Element
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Es fehlt hier die Angabe der Funktionsvorschrift. Die ist offensichtlich gegeben, sonst könnte man ja nicht so rechnen.
Wenn man aber davon ausgeht, dass Definitions- und Wertebereich sind wie angegeben, dann geht es auch ohne Funktionsvorschrift:

Denn der Defbereich hat 16 Elemente, der Wertebereich 6. Es müssen also einige Werte mehrfach angenommen werden, was der Injektivität widerspricht (Stichwort: Schubfachprinzip, falls nötig).

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