Bei 1. wird die Kettenregel benötigt (innere Funktion innerhalb der Exponentialfunktion) - da kommt man nicht auf den Logarithmus - weder beim Ableitung von $\exp(x)$ noch beim Ableiten von $x^2$.

Bei 2. hast Du die Lösung nicht abgebildet - da ist in der Ableitung der Logarithmus noch drin (Quotientenregel anwenden, oder Produktregel auf $\ln(x)\cdot\frac1x$ )

Die Funktion $\ln(x)$ ist eine Stammfunktion von $\frac1x$, nicht die Ableitung.

Eeine Stammfunktion vom Logarithmus ist $x\ln(x)-x$. Wenn Du z.B: diese Stammfunktion gegeben hättest, dann wäre die Ableitung tatsächlich der Logarithmus. Du hast aber eine andere Funktion.

Hallo!
Wenn du eine Exponentialfunktion ableitest, dann ist die Ableitung wieder eine Exponentialfunktion. Denn die Ableitung sagt ja was über die Steigung aus. Der Logarithmus hingegen ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Du kannst ja mal auf GeoGebra oder so die beiden Funktionen plotten. Da siehst du, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion wieder eine Exponentialfunktion ist und kein Logarithmus.
LG Lunendlich :)