Grenzwerte berechnen

Aufrufe: 235     Aktiv: 14.04.2022 um 19:51

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Hallo Leute!

Es geht hier um die folgende Aufgabe: Berechne die Grenzwerte folgender reellwertiger Funktionen. Falls der Grenzwert nicht existiert bestimme den links- und rechtsseitigen Grenzwert (falls sinnvoll).

Ich hab´ zwar einen Ansatz formuliert, aber ob der stimmt, kann ich nicht einschätzen. Ich vermute mal, dass meine Rechnung nicht korrekt ist. Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich die Aufgabe sonst lösen soll. Wir haben hier eine e-Funktion im Nenner, das hat mich ziemlich verwirrt. Könnt ihr mir weiterhelfen?

EDIT vom 14.04.2022 um 05:05:

 Macht das hier Sinn? Irgendetwas durch unendlich ergibt 0, sodass wir am Ende eine 1 erhalten? 

EDIT vom 14.04.2022 um 05:07:

 ....

EDIT vom 14.04.2022 um 19:21:


Ich hoffe wirklich, dass das jetzt so passt
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Punkte: 108

 

eine Frage. Wieso erst unendlich plus und dann Null plus?   ─   dermathematiker 13.04.2022 um 18:31

@anonym wie lautet die Aufgabe im Originalton? Die Funktion geht für $x\longrightarrow \pm \infty$ gegen $\infty$. Die Berechnung von rechts- bzw. linksseitigem Grenzwert macht nur Sinn wenn man den Grenzwert gegen einen speziellen Punkt betrachtet.   ─   maqu 13.04.2022 um 20:30

Die originale Aufgabenstellung steht oben, mehr steht in der Angabe auch nicht.   ─   anonym 13.04.2022 um 21:12
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Deinen Kommentaren zu urteilen fehlt dir offensichtlich jegliches Grundwissen. Wenn man eine Aufgabe so schnell wie möglich verstehen möchte, sollte man den entsprechenden Hinweisen einmal nachgehen und sich einlesen. 

Ausdrücke der Form $\frac{p(x)}{\mathrm{e}^{q(x)}}$, wobei $p$ und $q$ zwei beliebige Polynome sind, lassen sich mit Hilfe des entsprechenden Potenzgesetzes in $p(x)\mathrm{e}^{-q(x)}$ umschreiben. Da die e-Funktion stärker als jede Potenzfunktion wächst, dominiert der Faktor mit der e-Funktion, so dass das Verhalten im Unendlich maßgeblich davon bestimmt wird (abgesehen vom Vorzeichen). 

Wie das Globalverhalten solcher Funktionen aussieht, ist Stoff der Oberstufe. Das ist ggf. nochmal nachzulesen. Grundsätzlich sollte man wissen, wie $\mathrm{e}^x$ bzw. $\mathrm{e}^{-x}$ aussehen und wie deren Globalverlauf ist. Das lässt sich dann auf $\mathrm{e}^{-q(x)}$ eins zu eins übertragen. Ob der gesamte Ausdruck dann gegen $+\infty$ oder $-\infty$ geht, hängt vom Koeffizienten der höchsten Potenz von $p(x)$. 

Beispiel: Für $f(x)=-x^2\mathrm{e}^{-2x}$ gilt $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=0$, da die e-Funktion gegen 0 geht. Andererseits gilt $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=-\infty$, da die e-Funktion gegen $\infty$ strebt, aber das Minus vor dem $x^2$ den Ausdruck insgesamt gegen $-\infty$ gehen lässt.
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Selbstständig, Punkte: 22.2K

 

Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstanden habe, aber heißt das jetzt, dass der Grenzwert - unendlich ist?   ─   anonym 14.04.2022 um 04:51

Zeichne dir bitte einfach mal die Funktion, statt zu raten. Da gibt es tolle Programme   ─   mathejean 14.04.2022 um 09:06

hab´ ich.
Das Problem ist nur, dass wir die Funktionen nie graphisch dargestellt haben. Wir haben immer mit xn gerechnet oder E (epsilon) addiert oder subtrahiert.
  ─   anonym 14.04.2022 um 13:44

Bei der graphischen Darstellung geht es ja nur darum, die Lösung zu überprüfen, nicht den Grenzwert selbst zu berechnen. Wie kommst du denn auf -unendlich?   ─   cauchy 14.04.2022 um 16:09

Wenn du die Funktion aber zeichnest, könntest du dich selber kontrollieren. Auch bekommst du so ein besseres Gefühl für die Funktion. Überleg dir mal wie cool es wäre, wenn du eine Funktion siehst und dir sofort vorstellen kannst, wie die Funktion aussieht.   ─   mathejean 14.04.2022 um 16:09

Ich hab' jetzt den graphen. Wie muss ich dann vorgehen?
Wenn ich mir die funktion anschaue, dann geht sie +- unendlich, d-h dass der Grenzwert 0 ist?
  ─   anonym 14.04.2022 um 17:14

Keine Ahnung, was du für einen Graphen siehst, aber meiner geht nicht gegen 0! Was du machen musst, steht in meiner Antwort. Hast du sie überhaupt gelesen? Deinem Edit zu urteilen nicht, denn das, was du da machst, ist Käse und hat mit dem, was ich geschrieben habe rein gar nichts zu tun.

Langsam wird es echt mühsam, auf der Plattform zu helfen, wenn man ständig gegen eine Wand redet. Mach das, was in der Antwort steht und melde dich dann wieder.
  ─   cauchy 14.04.2022 um 17:45

Ich hab´wirklich gelesen was du geschrieben hast.
Okay, also wenn -unendlich, dann erhalten wir eine 0. Wenn + unendlich, dann erhalten wir wieder + unendlich. So hab´ ich das ganze verstanden und oben poste ich noch meine Lösung.
  ─   anonym 14.04.2022 um 19:21

Auf den e-Term bezogen. Aber geht doch. Um das $x^2+4$ gehören noch Klammern, weil das der gesamte Faktor ist.   ─   cauchy 14.04.2022 um 19:24

Okay, die Klammern setze ich noch. Aber stimmt jetzt mein Ergebnis?   ─   anonym 14.04.2022 um 19:30

Ja, jetzt passt das. Den Limes solltest du dann übrigens auch noch davor schreiben. Der Ausdruck, der da so steht ist ja offensichtlich nicht gleich unendlich. ;)
  ─   cauchy 14.04.2022 um 19:51

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Hallo Anonym,

xn( wofür das n) kann man so nicht kürzen, weil es im Nenner im Exponent steht
-Fataler Denkfehler gegen alle Regeln:

der Zähler gegen infinity geht, wegen der Dominanz von x^2 gegenüber +4.

Und der Nenner? wegen minus x^2 wird der Exponent negativ und gegen infinity e hoch -1000 = 1/(e^1000) gegen Null.

Große Zahl im Zähler, gegen Null im Nenner macht zusammen gegen +infinity
Kontrolle mit rechenhelfer Wolfram:




LG Mariam :D
PS: für gegen Null ist 4/e natürlich korrekt. Leichte Übung :)
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Schüler, Punkte: 37

 

Versteh‘ ich nicht ganz. Warum stimmt mein Ergebnis nicht?   ─   anonym 13.04.2022 um 20:02

Ich bin leider nicht gut im ausrechnen und schon gar nicht in diesem Thema. Ich kenne mich damit nicht so gut aus. Darum habe ich auch zum ausrechnen eine App verwendet-

Wenn du noch fragen hast dann versuch ich dir zu helfen :)
LG Mariam
  ─   dermathematiker 13.04.2022 um 20:14

Dein Ergebnis ist alleine schon deswegen falsch, weil die mathematische Notation ziemlicher Murks ist. Was soll plötzlich $x_n$ sein? Und wieso lässt man nun $\varepsilon$, was in dem Ausdruck gar nicht vorkommt, gegen 0 gehen? Beantworte dir diese Fragen, dann ist klar, warum das nicht klappt.   ─   cauchy 13.04.2022 um 20:44

cauchy not bad. Wie kann man gut erklären? Ist echt interessant :)   ─   dermathematiker 13.04.2022 um 20:51

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Dafür muss man die Dinge verstanden haben.   ─   cauchy 13.04.2022 um 20:53

Cauchy, wie sieht’s richtig aus? Wie muss ich da vorgehen? xn ist einfach eine beliebige Folge, die gegen unendlich geht   ─   anonym 13.04.2022 um 21:08

Ja, wie du siehst hast du damit nichts gewonnen, sondern eher Chaos gestiftet. Möglichkeiten hier sind l'Hospital anwenden oder die e-Funktion in den Zähler schreiben, indem man das Vorzeichen der Potenz ändert. Das Grenzverhalten von e-Funktionen, multipliziert mit einem Polynom, sollte aus der Oberstufe bekannt sein.   ─   cauchy 13.04.2022 um 21:36

L‘hospital kommt noch, das haben wir noch nicht behandelt.
Aber was passiert dann wenn ich die e Funktion in den Zähler schreibe? Wie geht’s dann weiter, was muss ich genau machen? Kannst du mir das ganze genauer erklären?
  ─   anonym 14.04.2022 um 00:08

Die e-Funktion wächst stärker als jede Potenzfunktion und dominiert daher den Term.   ─   cauchy 14.04.2022 um 00:14

Ja, aber die Info hilft mir nicht weiter. Wie genau muss ich da jetzt vorgehen??   ─   anonym 14.04.2022 um 00:15

Heißt das jetzt, dass der Grenzwert e^1 ist? Macht zwar wenig Sinn, aber so versteh ich deinen Kommentar   ─   anonym 14.04.2022 um 00:17

Kennst du das Globalverhalten der e-Funktion?   ─   cauchy 14.04.2022 um 00:18

Nein, ich glaub auch nicht, dass das hier relevant ist. Ich will die Aufgabe so schnell wie möglich verstehen, kannst du deshalb genauer erklären, wie ich da vorgehen muss. Oder kann mir jemand das anders erklären?   ─   anonym 14.04.2022 um 00:21

Das ist sehr wohl relevant!   ─   cauchy 14.04.2022 um 00:35

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