Totale Differenzierbarkeit

Aufrufe: 435     Aktiv: 02.06.2022 um 22:23
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Hallo, ich habe Probleme bei der Teilaufgabe (b).
Mein Ansatz bislang: 
Aus der Definition der totalen Differenzierbarkeit lässt sich folgende Gleichung herleiten: 
lim v->0 (f(a+v) - f(a) - L(v) ) / ||v|| = 0
Dementsprechend könnte man zeigen, dass f nicht diffbar ist, indem man einen Grenzwert ungleich 0 findet für a=(0,0).

Für a = (0,0) und v_1 = v_2 gilt dann also:
lim v->0 ( f(v) - 0 - L(v) ) / sqrt(2v_1^2)
= lim v->0  v_1^3/( (2v_1^2) * sqrt(2v_1^2) ) - L(v) / sqrt(2v_1^2).

Sollte mein Ansatz in die richtige Richtung gehen, dann weiß ich bislang nicht, wie ich hier mit L(v) weiterrechnen muss. Über jede Hilfe freue ich mich :) 

EDIT vom 02.06.2022 um 16:34:

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Ja, es reicht hier eben nicht aus einen Grenzwert ungleich 0 zufinden,  sondern man muss das schon für jeden zeigen... Es geht aber einfacher mithilfe von Aufgabe (a). Wenn \(f\) totaldifferrenzierbar ist, ist \(L\) bereits durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt. Wählst du jetzt Standardbasis,  so kannst du \(L\) mithilfe der Richtungsableitungen in Richtung der Standardbasisvektoren bestimmen (man nennt das auch partielle Ableitung). Anschließend zeigst du für dieses \(L\), dass der Grenzwert nicht 0 ist
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Hallo Mathejean,
das ging jetzt etwas schnell (sind erst seit der letzten VL bei dem Thema und bin noch etwas unsicher mit der Definition).
L ist eindeutig bestimmt, wenn f diffbar sein sollte, das verstehe ich. Ich habe bereits in Aufgabe (a) gezeigt, dass die Richtungsableitung in (0,0) mit v = (1,0) existiert. Wir haben in der VL außerdem gezeigt: Df(a)(v) = ∂v f(a), allerdings verstehe ich die Notation noch nicht ganz bzw die Brücke von L(v) aus der Aufgabe und dem berechneten L(v)(1,0).   ─   user1312000 02.06.2022 um 12:01
Okay, sehr gut, genau die Gleichung \(Df(a)(v) =\partial_v f(a)\) brauchen wir. Es ist ja \(Df(a)\) eine lineare Abbildung/Matrix und wenn du lineare Algebra hattest, weißt du, dass so eine Abbildung eindeutig durch die Bilder einer Basis bestimmt sind. Lass uns aber einfacher machen und \(Df(a)\) mit einer Matrix identifizieren. Es ergibt dann \(Df(a)e_i\) die \(i\)-te Spalte von \(Df(a)\) und nach der wichtigen Formel gilt jetzt \(Df(a)e_i=\partial_{e_i}f(a)\), also können wir so jede Spalte von \(Df(a)\) bestimmen (unter der Annahme, dass \(f\) totaldifferrenzierbar ist). Man nennt die \(\partial_{e_i}f(a)\) partielle Ableitung, aber das wird dir sicher noch alles erklärt.   ─   mathejean 02.06.2022 um 12:29
Ich habe Lineare Algebra erst in diesem Semester, weshalb ich mich da noch etwas schwerer tu.
Jedenfalls glaube ich, dass ich das nun verstanden habe, ich berechne mit mit e_1 = (1,0) und e_2 = (0,1), ∂e_1 f(a) = 1 und ∂e_2 f(a) = 0 ,sodass L(v) = (1,0) ist.

Demnach gilt dann:
lim v->0 v_1^3/( (2v_1^2) * sqrt(2v_1^2) ) - L(v) / sqrt(2v_1^2)
= lim v->0 v_1^3/( (2v_1^2) * sqrt(2v_1^2) ) - v_1 / sqrt(2v_1^2) oder?   ─   user1312000 02.06.2022 um 13:06
Möchtest du das vielleicht auf Blattpapier abfotografieren?   ─   mathejean 02.06.2022 um 15:06
Habe ich soeben hochgeladen :)   ─   user1312000 02.06.2022 um 16:34
Wie kommst du auf 1 für die erste Richtungsableitung?   ─   mathejean 02.06.2022 um 17:18
Ist in Teilaufgabe (a), letztendlich ist es
lim h->0 h_1^3/(h_1^2 )/h und da h_1 = v_1*h = 1*h ist das das gleiche wie lim h->0 h_1^3/h_1^3 = 1   ─   user1312000 02.06.2022 um 18:46
Okay, sehr gute Arbeit! Am Ende setzt du aber für \(v_1=1\) ein obwohl \(v \to 0\)   ─   mathejean 02.06.2022 um 19:05
Ich weiß gerade nicht ganz, welche Stelle du meinst...   ─   user1312000 02.06.2022 um 19:15
Dritte Zeile von unten   ─   mathejean 02.06.2022 um 19:54
Achso stimmt, irgendwie nicht weiter nachgedacht ^^
Hättest du zufällig bereits eine weitere Umformung?   ─   user1312000 02.06.2022 um 20:06
Potenz/Wurzelgesetze   ─   mathejean 02.06.2022 um 20:21
Alles klar, hab es dann jetzt komplett! :)
Riesen Respekt und großes Dankeschön für die ganze Hilfe, ich weiß das sehr zu schätzen und ich finde, dass das oft viel zu kurz kommt, nachdem einem so geholfen wird.
Wünsche dir noch einen schönen Abend!   ─   user1312000 02.06.2022 um 21:15
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Danke und du hast wirklich sehr gute Arbeit geleistet! Deine Abgabe sieht besser aus als jede meiner Abgaben :D   ─   mathejean 02.06.2022 um 21:52

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