Es gilt

\(\begin{align}(2k+1)!\left[-\binom{k-x}{2k+1}\right]&=-\prod_{j=1}^{2k+1}(k-x+1-j)=(-1)^{2k+1}\prod_{j=1}^{2k+1}(k-x+1-j)=\prod_{j=1}^{2k+1}-(k-x+1-j)\\&=\prod_{j=1}^{2k+1}(x-k+j-1)\overset{m:=2k+2-j}=\prod_{m=1}^{2k+1}(x-k+2k+2-m-1)\\&=\prod_{m=1}^{2k+1}(x+k+1-m)=(2k+1)!\binom{x+k}{2k+1}\end{align}\)

und daraus folgt nach Division der Fakultät die zu zeigende Identität. Die einzigen nicht ganz einfachen Schritte sind die Indexverschiebung am Ende und die Idee, \(-1\) als \((-1)^{2k+1}\) zu schreiben. Auf diese Ideen kann man kommen, indem man Beispiele betrachtet. Zum Beispiel für \(k=1,x=-2\) erhält man $$\frac{3\cdot2\cdot1}{3!}=-\frac{(-1)(-2)(-3)}{3!}.$$ Man sieht also, dass die Zähler weitgehend gleich sind, nur auf der rechten Seite sind alle Faktoren negativ und in der umgekehrten Reihenfolge. Ich hoffe, das zeigt, wie man auf diese Lösung kommen kann.

Wenn noch irgendetwas unklar ist, frag gerne nochmal nach.

P.S. du hättest deine alte Frage auch bearbeiten können, anstatt eine neue zu stellen. Außerdem wäre es schön, wenn du in Zukunft auch deinen bisherigen Rechenweg mitangeben würdest, dann können wir daran anknüpfen und du lernst viel mehr!