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Man nennt \(U\) abgeschlossen, wenn die Verknüpfung von zwei beliebigen Elementen aus \(U\) wieder in \(U\) liegt. Entsprechend ist \(U\) nicht abgeschlossen, wenn es zwei Elemente in \(U\) gibt, deren Verknüpfung nicht in \(U\) liegt.
Zum Beispiel ist \(U\) bezüglich der Addition nicht abgeschlossen. Die Funktionen \( f(x)= \begin{cases} 1 & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} \) und \( g(x)= \begin{cases} 1 & x \neq 0 \\ 2 & x=0 \end{cases} \) sind offensichtlich stetig auf \(\mathbb{R} \setminus \{0\} \) und nicht stetig in \(x=0\), also Elemente von \(U\). Aber ihre Summe \((f+g)(x)=2 \) ist konstant \(2\), also stetig in \(x=0\) und nicht überall gleich \(0\). Somit ist ihre Summe nicht in \(U\).
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Ich verstehe das nicht. Wie kommst du auf die Werte der Funktionen f(x) und g(x)? g steht da nirgendwo. Und das Symbol "U" heißt "oder"? Das heißt, ich kann mir eine Definition zwischen "f ist stetig außer in x=0" und "f(x)=0 für R aussuchen? Definiert ist doch nur f, über g steht da nichts, das macht für mich keinen Sinn
─
kamil
20.05.2020 um 22:15
\(f\) wurde als gebundene Variable benutzt, um die Verknüpfungen zu definieren, aber es wurde keine Funktion \(f\) definiert - das ist ein Unterschied. Deshalb habe ich den Buchstaben \(f\) für meine Definition einfach noch mal benutzt. Das führt mathematisch zu keinen Komplikationen, man muss sich nur klar darüber sein, dass die beiden \(f\) nichts miteinander zu tun haben.
\(U\) ist eine Menge von Funktionen. In \(U\) befinden sich alle Funktionen, die auf \(\mathbb{R} \setminus \{0\} \) stetig und in \(x=0\) nicht stetig sind, und außerdem noch die Funktion, die überall gleich \(0\) ist. Ich habe nun gezeigt, dass \(U\) nicht abgeschlossen bzgl. der definierten Addition ist. Dazu habe ich zwei Funktionen \(f\) und \(g\) konstruiert und gezeigt, dass sie in \(U\) liegen, aber dass ihre Summe nicht in \(U\) liegt. ─ 42 20.05.2020 um 22:33
\(U\) ist eine Menge von Funktionen. In \(U\) befinden sich alle Funktionen, die auf \(\mathbb{R} \setminus \{0\} \) stetig und in \(x=0\) nicht stetig sind, und außerdem noch die Funktion, die überall gleich \(0\) ist. Ich habe nun gezeigt, dass \(U\) nicht abgeschlossen bzgl. der definierten Addition ist. Dazu habe ich zwei Funktionen \(f\) und \(g\) konstruiert und gezeigt, dass sie in \(U\) liegen, aber dass ihre Summe nicht in \(U\) liegt. ─ 42 20.05.2020 um 22:33
Jetzt macht es klck. Und es reicht, ein Gegenbeispiel zu finden, wie diesen hier? Gäbe es eine Funktion, mit der es gehen würde?
Mit alpha geht das. Alpha mal eine stetige Funktion, ist stetig, Alpha mal f(x), wenn f(x)=0 ist, ist auch 0 ─ kamil 20.05.2020 um 23:48
Mit alpha geht das. Alpha mal eine stetige Funktion, ist stetig, Alpha mal f(x), wenn f(x)=0 ist, ist auch 0 ─ kamil 20.05.2020 um 23:48
Genau, wenn man zeigen will, dass eine Menge nicht abgeschlossen ist, dann reicht ein Gegenbeispiel.
Deine Ausführungen zur skalaren Multiplikation mit Alpha sind richtig. Allerdings musst du noch die Stelle \(x=0\) betrachten. Dort soll die Funktion ja explizit nicht stetig sein (wenn es nicht die Nullfunktion ist). Das hast du in einer Argumentation vergessen. ─ 42 20.05.2020 um 23:56
Deine Ausführungen zur skalaren Multiplikation mit Alpha sind richtig. Allerdings musst du noch die Stelle \(x=0\) betrachten. Dort soll die Funktion ja explizit nicht stetig sein (wenn es nicht die Nullfunktion ist). Das hast du in einer Argumentation vergessen. ─ 42 20.05.2020 um 23:56
Alpha mal unsteige Funktion, ist unstetig? An der Stelle x=0
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kamil
21.05.2020 um 00:14
Sei \(f\) unstetig in \(x=0\) und \( \alpha \neq 0\). Wegen der Unstetigkeit existiert ein \(\varepsilon > 0\), sodass \( \vert f(x) - f(0) \vert > \epsilon \) für alle \(x \neq 0\). Hieraus folgt \( \vert \alpha f(x) - \alpha f(0) \vert = \vert \alpha \vert \cdot \vert f(x) - f(0) \vert > \vert \alpha \vert \cdot \varepsilon \) für alle \(x \neq 0\). Also ist \( \alpha f\) auch unstetig in \(x=0\). Für \( \alpha = 0\) ist \( \alpha f \) die Nullfunktion.
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42
21.05.2020 um 00:26