\(\int \frac{2}{x-1}\mathrm dx=2\ln|x-1|\) dürfte klar sein.

\(-\int\frac{2x+6}{x^2+2x+2}\mathrm dx\) möchten wir nun mit Substitution lösen:

\(u=x^2+2x+2\)

\(\mathrm du=2x+2\ \mathrm dx\)

Wir teilen das Integral auf:

\(-\int\frac{2x+6}{x^2+2x+2}\mathrm dx=-\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}+\frac{4}{x^2+2x+2}\mathrm dx=-\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\mathrm dx-\int\frac{4}{x^2+2x+2}\mathrm dx\)

und erhalten:

\(-\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\mathrm dx=-\int\frac{1}{u}\mathrm du=-\ln|x^2+2x+2|\)

Das übrige Integral lösen wir mit quadratischer Ergänzung:

\( -\int\frac{4}{x^2+2x+2}\mathrm dx=-4\int\frac{1}{(x+1)^2+1}\mathrm dx\)

und Substitution: \(u=x+1\) und \(\mathrm du=\mathrm dx\)

\(-4\int\frac{1}{(x+1)^2+1}\mathrm dx=-4\int\frac{1}{u^2+1}\mathrm du=-4\arctan(x+1)\)

Alle Schritte gibt es auch auf

https://www.integralrechner.de/

Viele Grüße