Partialbruchzerlegung

Aufrufe: 764     Aktiv: 25.02.2020 um 22:55

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Guten Abned,

kann mir bitte jemand bei der Partialbruchzerlegung weiterhelfen? Ich glaube, dass ich sehr nah am Ergebnis bin, jedoch komme ich nun nicht mehr weiter, weil ich den rechten Ausdruck nicht integriert bekomme :(

Danke im Voraus!

 

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\(\int \frac{2}{x-1}\mathrm dx=2\ln|x-1|\) dürfte klar sein.

\(-\int\frac{2x+6}{x^2+2x+2}\mathrm dx\) möchten wir nun mit Substitution lösen:

\(u=x^2+2x+2\)

\(\mathrm du=2x+2\ \mathrm dx\)

Wir teilen das Integral auf:

\(-\int\frac{2x+6}{x^2+2x+2}\mathrm dx=-\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}+\frac{4}{x^2+2x+2}\mathrm dx=-\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\mathrm dx-\int\frac{4}{x^2+2x+2}\mathrm dx\)

und erhalten:

\(-\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\mathrm dx=-\int\frac{1}{u}\mathrm du=-\ln|x^2+2x+2|\)

Das übrige Integral lösen wir mit quadratischer Ergänzung:

\( -\int\frac{4}{x^2+2x+2}\mathrm dx=-4\int\frac{1}{(x+1)^2+1}\mathrm dx\)

und Substitution: \(u=x+1\) und \(\mathrm du=\mathrm dx\)

\(-4\int\frac{1}{(x+1)^2+1}\mathrm dx=-4\int\frac{1}{u^2+1}\mathrm du=-4\arctan(x+1)\)

 

Alle Schritte gibt es auch auf

https://www.integralrechner.de/

Viele Grüße

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