Parameter von 0 Zeile wählen

Aufrufe: 913     Aktiv: 23.05.2020 um 22:30
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Hi Leute, 

wie ist das mit dem Parameter, wenn ich eine 0 Zeile im LGS kriege? Bekanntlich darf ich eine Unbekannte zum Parameter machen. Hier habe ich jeweils erstmal "z" und dann "a" zum Parameter gemacht und dann rückwärts aufgelöst. Es kommen dabei aber verschiedene Lösungsvektoren raus, für einen anderen gewählten Parameter. Meine Frage ist jetzt: Kann das sein, sind jetzt beide Lösungen richtig?

Lg

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Student, Punkte: 370

 
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Du hast einen Fehler in deiner Rechnung, deshalb funktioniert die Sache auch nicht und du bekommst in der letzten Spalte den Widerspruch \( 0 = 0 \alpha + 0 \beta + 0 \gamma = 1 \). Der Fehler ist dir direkt im ersten Schritt passiert beim Berechnen der 3. Zeile. Statt einer \(-3\) müsste da eine \(-1\) stehen.

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Student, Punkte: 7.02K

 
Du meinst die letzte Zeile? Aber dann kann man immer einen Parameter wählen, egal welchen, ob a,b oder c?   ─   kamil 22.05.2020 um 20:03
Ja, genau, nach deiner ersten Umformung ist in der letzten Zeile der Matrix ein Fehler.
Man kann den Parameter nicht immer frei wählen, wenn du zum Beispiel eine Nullspalte bekommst, dann klappt das nicht. Du musst immer gucken, ob sich Teile der Matrix lösen lassen. Für die Teile, die sich nicht lösen lassen, kannst du dann aber vollkommen beliebig einen Parameter festsetzen.   ─   42 22.05.2020 um 20:21
Habe Fehler behoben.

Wenn ich eine 0 spalte habe, darf ich dann keinen Parameter wählen, der in dieser Spalte ist, oder wie?   ─   kamil 22.05.2020 um 20:31
Wenn du eine Nullspalte hast, kann es sein, dass Teile der Matrix lösbar sind. Nehmen wir zum Beispiel \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Hier gibt es eine Nullzeile. Aber es gibt auch eine Nullspalte und die Matrix ist in Teilen eindeutig lösbar mit \( \alpha = 1\) und \( \gamma = 1\). Hier darf man also nicht einfach einen Parameter frei wählen. Man muss hier \( \beta \) als Parameter wählen.
Es gibt auch Beispiele, bei denen ein einzelner Parameter gar nicht ausreicht. Beispielsweise bei \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) müsste man \( \alpha \) und \( \beta \) beide zu Parametern machen.
Was man machen darf und muss hängt also immer von der konkreten Matrix ab.   ─   42 22.05.2020 um 20:53
Darf man für einen Parameter auch 0 einsetzen? Hängt das auch von Matrix ab?   ─   kamil 22.05.2020 um 21:33
Ein Parameter ist immer beliebig   ─   42 22.05.2020 um 21:35
Es ist korrekt, dass die Lösung davon abhängt, wie man die Zeilen behandelt, also wie man mit den rechnet? Hat man dann verschiedene Lösungsvektoren. aber es sind alle richtig?   ─   kamil 23.05.2020 um 21:34
Wenn das lineare Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, dann bekommt man immer eine Schar von Vektoren in Abhängigkeit der Parameter heraus. Wenn du nur einen einzigen Vektor als Lösung herausbekommst, dann hast du das Lösen von solchen Gleichungssystemen noch nicht verstanden.   ─   42 23.05.2020 um 21:44
Mit dem Parameter ist es mir klar. Ich meine, wenn das LGS eindeutig lösbar ist.?   ─   kamil 23.05.2020 um 21:49
Wenn es eindeutig lösbar ist, dann gibt es nur einen Lösungsvektor   ─   42 23.05.2020 um 21:54
Hmm.. wo ist dann mein Fehler in der Rechnung? Am Ende habe ich nur die 3.Zeile mal genommen und zur 2.ten addiert. Nur darin unterscheidet sich mein Rechenweg von der Lösung oder bin ich blind :😎   ─   kamil 23.05.2020 um 22:14
Ich habe es! Die -5 nach dem ersten Pfeil habe ich nicht in die Matrix danach übertragen. Alles super, danke😀👍   ─   kamil 23.05.2020 um 22:30

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