Mengenlehre

Erste Frage Aufrufe: 547     Aktiv: 18.03.2020 um 22:16
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Wenn ich folgende Wahrscheinlichkeit habe P(A ∩ B).

P(A ∩ B) ≤ P(A)

Das ist doch falsch, oder?

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Maurer, Punkte: 10

 
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Nein das ist richtig: Durch den Schnitt mit der Menge B kannst du die Menge der Ereignisse nicht vergrößern, sondern nur weiter einschränken. Wenn A und B z.B. disjunkte Mengen sind, dann ist der Schnitt die leere Menge, also Wahrscheinlichkeit = 0. Gleichheit gilt dann, wenn A vollständig in B enthalten ist, denn dann ist der Schnitt von A und B gleich der Menge A.
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\(P(A\cap B)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) und \(B\) erfüllt sind. Das ist eine stärkere Aussage als die, dass \(A\) wahr ist, also sollte es intuitiv klar sein, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner ist.

Formal ist \(A\cap B \subseteq A\) und daher \(P(A\cap B)=P(A)-P(A\backslash B)\leq P(A)\), wobei wir im ersten Schritt die Eigenschaft \(P(X)+P(Y)=P(X\cup Y)\) für \(X\cap Y=\emptyset\) und im zweiten Schritt die Nichtnegativität der Wahrscheinlichkeitsfunktion genutzt haben.

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Student, Punkte: 5.33K

 

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