Das Kreuzprodukt wurde gerade so definiert, dass es vom Betrag  genau der Fläche des Parallelograms entspricht. Du hattest ja sicherlich schonmal Normalenvektoren über das LGS \(u\cdot n=v\cdot n =0\) bestimmt, dies ist aber natürlich ein unterbestimmtes LGS und es gibt unendlich viele Lösungen, nämlich alle Normalenvektoren. Nun kam irgendjemand auf die Idee, eine weitere Bedingung/Gleichung zu dem LGS hinzuzufügen,  sodass es eindeutig lösbar wird und da es praktisch war, beschloss er als dritte Bedingung zu nehmen, dass \(||n||\) der Fläche des Parallelograms \(u\) und \(v\). Die hierausentstehende Gleichung ist etwas größer, aber für das Verständnis auch uninteressant. Jedenfalls definiert man nun \(u\times v\) als Lösung dieses erweiterten LGS. Aufgrund dieser Tatsache findet es viele Anwendungen,  wie gerdware schon ausführlich beschrieben hat.