Länge eines Vektors von einem Kreuzprodukt...

Erste Frage Aufrufe: 95     Aktiv: 18.06.2021 um 16:17

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warum entspricht die länge eines vektors, der aus dem kreuzprodukts zweier anderer Vektoren ermittelt wird, der Fläche, welche diese aufspannen? 
Wie kann bitte die länge eines Vektors gleich die einer Fläche sein? eine Fläche ist doch eine ganz andere Einheit oder nicht?

langer komplizierter Satz ich hoffe ihr versteht was ich meine :)
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Das Kreuzprodukt wurde gerade so definiert, dass es vom Betrag  genau der Fläche des Parallelograms entspricht. Du hattest ja sicherlich schonmal Normalenvektoren über das LGS \(u\cdot n=v\cdot n =0\) bestimmt, dies ist aber natürlich ein unterbestimmtes LGS und es gibt unendlich viele Lösungen, nämlich alle Normalenvektoren. Nun kam irgendjemand auf die Idee, eine weitere Bedingung/Gleichung zu dem LGS hinzuzufügen,  sodass es eindeutig lösbar wird und da es praktisch war, beschloss er als dritte Bedingung zu nehmen, dass \(||n||\) der Fläche des Parallelograms \(u\) und \(v\). Die hierausentstehende Gleichung ist etwas größer, aber für das Verständnis auch uninteressant. Jedenfalls definiert man nun \(u\times v\) als Lösung dieses erweiterten LGS. Aufgrund dieser Tatsache findet es viele Anwendungen,  wie gerdware schon ausführlich beschrieben hat.
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Das Kreuz- oder Vektorprodukt (, das es nur im \(R^3\) gibt) kommt aus der Physik, damit bestimmte Definitionen oder Lehrsätze (z.B. \(\vec F=\vec v \times\vec B\) oder \(\vec M=\vec F \times \vec r\) besser beschriebn werden können. So gilt auch \(\vec A=\vec a \times \vec b\) für Parallelogramme, d.h. der Flächenvektor ist das Vektorprodukt zweier Seitenvektoren. Für die Beträge gilt \(A=absin(\vec a,\vec b),....\) und entsprechend für die Maßeinheiten z.B. \(cm²=cm \cdot cm\)
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Ich müsste lügen wenn ich sagen würde, dass ich irgendetwas verstanden habe, aber ich bedanke mich für die antworten. Werde dies nun noch ca 100 mal lesen vielleicht schnall ich es dann mal!
Danke jedenfalls euch beiden!
  ─   i hate stochastics 18.06.2021 um 16:17

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