Hallo,

ich glaube nicht dass man ohne Integralrechnung zum Ziel kommt. Die Multiplikation mit einem weiteren a beim Würfel ist auch eher ein Resultat der Integralrechnung, dass für jede Raumrichtung noch das Integral $\int\limits_0^a \ \mathrm{d}x_i $ multipliziert wird.
Bei der Kugel ist das nicht mehr so einfach, weil nicht einfach eine Länge dazu kommt. Man kann es sich vielleicht am ehesten so vorstellen, dass die Kugel der Dimension $n-1$ in die neu dazukommende Dimension gezogen wird (wir erhalten also einen Zylinder) und dann wird von diesem Zylinder solange etwas weggeschnitten, bis wir wieder sowas wie eine Kugel haben. Das ist nicht mehr so einfach mit einer Multiplikation zu beschreiben. 

Was noch ein sehr spannender Unterschied zwischen Würfel und Kugel ist, dass das Volumen des Würfels immer größer wird. Das Volumen der Kugel wird bei gleichem Radius ab einer bestimmen Dimension (ich meine ab $n=6$) immer kleiner. Für $n\to \infty$ geht es meine ich sogar gegen $0$. 

Zur Herleitung des Volumens, guck vielleicht mal in das angehängte Video. 

Ich hoffe das hilft dir etwas weiter :)

Grüße Christian