Stetige Funktion zwischen Topologien

Aufrufe: 62     Aktiv: 07.10.2021 um 17:30

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Hallo ,
Ich habe eine Frage bezüglich stetigen Funktionen zwischen Topologien
Wenn ich zwei Mengen habe M_1 = {1,2} und M_2 = {1,2,3}
finde ich ja zuerst einmal die Topologien der Mengen heraus  ( welche ich unten anfügen werde )
Jetzt soll ich mir eine Topologie in M_1 schnappen z.B {∅,M_1} und alle stetigen Funktionen f: M_1 --> M_2 aufzeigen für alle möglichen Topologien auf M_2

Ist das etwa gleich zu verstehen mit : Alle Topologien , welche {∅,M_1} beeinhalten sind solche funktionen

also zb f: M_1 --> M_2
              {∅,M_1} --> {∅,M_1} ∪{M_2} ?
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Lass uns mal eine der möglichen Abbildungen zwischen $M_1$ und $M_2$ betrachten:
 
$$ f_1 \colon M_1 \to M_2,\  m\mapsto 1$$
Sei $M_1 = \{1,2\}$ mit $\mathcal T_3 = \{\varnothing, \{2\}, \{1,2\}\}$ (also die dritte Topologie für $M_1$).
 
und sei $M_2 = \{1,2,3\}$ mit $\mathcal{T}_8 = \{\varnothing, \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}\}$ (also die achte Topologie auf $M_2$)
 
(ich habe einfach willkürlich zwei Topologien gewählt).
 
Die Abbildung $f\colon M_1\to M_2$ ist $\mathcal T_3,\mathcal T_8$ stetig, falls das Urbild jeder offenen Menge offen ist.
 
Wir prüfen, ob $f_1$ nun $\mathcal T_3, \mathcal T_8$-stetig ist.
 
Für $\varnothing \in \mathcal T_8$ ist $f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \in \mathcal T_3$ klar.
 
Ebenso ist für $\{1,2,3\} \in \mathcal T_8$ klar, dass $f^{-1}(\{1,2,3\}) = \{1,2\} \in \mathcal T_3$.
 
Für $\{1\} \in \mathcal T_8$ ist $f^{-1}(\{1\}) = \{1,2\} \in \mathcal T_3$.
 
Für $\{1,2\} = \{1\}\cup \{2\} \in \mathcal T_8$ gilt  $f^{-1}(\{1,2\}) = f^{-1}(\{1\}\cup \{2\}) = f^{-1}(\{1\})\cup f^{-1}(\{2\}) = \{1,2\}\cup \varnothing = \{1,2\} \in T_3$ 
 
Edit: hier habe ich einen fehler vorhin gemacht, die Abbildung stetig.
 
Beachte, dass es noch viele weitere Abbildungen zwischen $M_1$ und $M_2$ gibt.
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Überprüf das nochmal....Fehler wurde von zest korrigiert.
Und das Beispiel ist ja eine konstante Abb., die sind doch immer stetig (weil $f^{-1}(...)$ nur $\emptyset$ oder $M_1$ sein kann).
  ─   mikn 07.10.2021 um 15:33

Du hast recht. Ich hatte zwischendurch eine andere Abbildung betrachtet, dann haben sich Fehler eingeschlichen beim formatieren. Ich korrigier das eben. Danke
  ─   zest 07.10.2021 um 17:05

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