Wie lautet der Rechenweg dieser Ungleichung?

Aufrufe: 166     Aktiv: 01.04.2022 um 16:11

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Ich muss doch zuerst die Klammer auflösen und dann kommt eine Gleichung 2. Grades raus oder? Ich habe dann die Pq Formel genommen um die Gleichung zu berechnen. Ist mein Vorgehen richtig und welche Lösung kommt bei der Ungleichung heraus?

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19 Jahre. Wiwi student, Punkte: 37

 
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Ja dein Vorgehen ist soweit richtig. Beachte das du eine quadratische Ungleichung der Form $ax^2+bx+c\leq 0$ erhältst. Um die $p$-$q$-Formel anwenden zu können musst du erst noch durch den Faktor $a$ teilen.
Auf deine Frage was dann die Lösung ist. Es sind alle $x\in \mathbb{R}$ die die Ungleichung erfüllen. Du hast ja eine nach oben geöffnete Parabel. D.h., Lösung sind alle $x$ die zwischen deinen beiden Nullstellen liegen.
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Ich habe die Ungleichung nun mit der pq-Formel bereechnet und es kommt bei mir nur eine Nullstelle heraus, die 5/6 lautet. Die Lösungsmenge ist dann also [5/6; plus unendlich) oder?   ─   latze 29.03.2022 um 19:22

Also wenn nur eine Nullstelle herauskommt dann wäre die Nullstelle selbst deine Lösung, weil nur dieses eine $x$ deine Ungleichung erfüllt nämlich den Fall der Gleichheit. Ich komme aber auf zwei Nullstellen! Auf welchen Term bist du denn nach dem Ausklammern gekommen? Hast du meinen Hinweis beherzigt und die Gleichung durch den Faktor vor dem $x^2$ geteilt?   ─   maqu 29.03.2022 um 20:14

Es macht doch gar keinen Sinn, die Klammern erst auszumultiplizieren um den Ausdruck dann wieder (das ist ja das, was die pq-Formel macht) zu faktorisieren. Ist ja ziemlich klar, dass dieser umständliche Weg zu Rechenfehlern führt.
Es ist ja schon schön faktorisiert, und die (beide!) Nullstellen kann man direkt ablesen ("Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird.")
  ─   mikn 29.03.2022 um 23:20

hi, Vielen Dank für eure Ratschläge. Mit deiner Variante @mikn habe ich noch nicht viel Erfahrung und habe deshalb mit der pq Formel gearbeitet. Dabei habe ich die Klammern ausmultipliziert, zu 6x²-10x+6. Selbstverständlich habe ich dann noch durch 6 dividiert @maqu ;) um die richtigen Werte in die pq-Formel einzusetzen. p ist bei mir gleich -10/6 und q ist 1. welchen Fehler habe ich gemacht und wie lautet dein Ergebnis @maqu?   ─   latze 01.04.2022 um 14:46

Die -10 stimmt nicht. Erfahrungen kann man ja sammeln. Schau Dir das Thema Faktorisieren mal an, was das mit Nullstellen zu tun hat. Das braucht man an vielen Stellen. Und auch die Regel aus dem letzten Satz meines vorigen Kommentars.   ─   mikn 01.04.2022 um 15:02

@latze dem wertvollen Hinweis von mikn solltest du auf jedenfall einmal nachgehen, damit kannst die Nullstellen einfach ablesen … wenn du verstehst warum, hast du auf jedenfall viel gelernt … manchmal denkt man auch als Helfer so engstirnig und übersieht einen einfacheren Weg zur Lösung … zum Glück sind cauchy und mikn nicht müde bei jeder Antwort drüber zu schauen und Fehler zu korrigieren oder wie hier alternative Wege zur Lösung zu liefern … beim ausmultiplizieren kommen nicht $-10x$ heraus, du hast einmal $-3\cdot 3x=\ldots$ und $2x\cdot (-2)=\ldots$, die Summe von beidem ergibt nicht $-10x$. Wenn du das korrigierst solltest du auf das richtige Ergebnis kommen   ─   maqu 01.04.2022 um 15:51

Die Idee von @maqu mit der Öffnung der Parabel ist sicher der eleganteste, verständlichste und einfachste Weg zur Lösung.
Wenn man dann vorher einfach die Nullstellen bestimmt hat ;-)
Eigentlich kann man damit die Lösung direkt hinschreiben, ohne überhaupt (nennenswert) zu rechnen.
  ─   mikn 01.04.2022 um 16:11

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Es geht auch ohne Ausmultiplizieren: Einfach schauen, dass die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Also die erste Klammer größer 0 und die andere Klammer kleiner 0 bzw. andersherum. Schließlich kann man dann auch noch mit dem Satz vom Nullprodukt den Grenzfall mit der Gleichheit betrachten. Am Ende dann die Resultate in eine Lösungsmenge packen.
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