Brauche Hilfe mit ein Beweis

Aufrufe: 52     Aktiv: 18.04.2021 um 23:33

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Hallo alle zusammen,
kann mir jemand diesen Beweis erklären ? Ich verstehe die einzelnen schritte leider überhaupt nicht... warum sind p und q teilerfremd ? Was bringt das ?

Ich wäre echt dankbar, wenn mir jemand die einzelnen Schritte erklären würde und erklären  warum das so gemacht wurde. 


Danke im Voraus!

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Student, Punkte: 143

 

Teilerfremd bedeutet in diesem Kontext, dass der Bruch vollständig gekürzt ist   ─   finn2000 18.04.2021 um 23:14

8/10 ist z.B nicht vollständig gekürzt da 8 und 10 nicht Teilerfremd sind. Man kann beide mit 2 dividieren und erhält 4/5 welches der Teilerfremdheit genügt.   ─   finn2000 18.04.2021 um 23:15

Das Ding ist das du widerlegen kannst, dass es einen vollständig gekürzten Bruch gibt der Wurzel 2 abbildet. Daraus folgt direkt, dass Wurzel 2 nicht rational ist.   ─   finn2000 18.04.2021 um 23:19

Übrigens musst du nicht für jede Teilfrage eine eigene Frage eröffnen....   ─   cauchy 18.04.2021 um 23:25

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4 Antworten
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hier mal die einzelnen Schritte kommentiert.
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Student, Punkte: 237
 

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Hallo,

die Idee dahinter ist, dass du annimmst, dass x eine rationale Zahl (also ein Bruch) ist und führst das auf ein Widerspruch. Das bedeutet dann, dass das Gegenteil wahr ist.

Du nimmst also an, dass x ein Bruch ist, d.h.  x= p/q , wobei du natürlich jeden Bruch vollständig kürzen kannst (das bedeutet letztlich dass p und q teilerfremd sind also nicht beide durch eine Zahl teilbar sind).

Außerdem \x^2 = 2 = p^2/q^2 ==> p^2 = 2* q^2 ==> p^2 ist gerade, offensichtlich (da 2*...) ==> p ist gerade

Das heißt p lässt sich darstellen mit p = 2*k

Mit weiteren Umformungen ergibt sich dann auch q = 2*... also auch q ist gerade.
Also kann man p/q mit 2 kürzen, was ein Widerspruch zu unserer Annahme am Anfang ist.

==> x ist kein Bruch
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Moin,
jede rationale Zahl lässt sich durch einen Bruch zweier vollständig gekürzter ganzer Zahlen darstellen. z.B.: \(0.5= \frac {2} {4} = \frac {1} {2} \). 0,5 lässt sich durch beide Brüche darstellen, Zähler und Nenner des vollständig gekürzten Bruchs haben einen gcd von 1, d.h. sie sind teilerfremd.
Nun schreibt man diese Annahme mathematisch auf und quadriert alle Seiten der Ungleichung. Wie auf dem Blatt steht erhält man: \(2= \frac {p^2} {q^2}\). Wenn man nun auf beiden Seiten mit \(q^2\) multipliziert erhält man \(2 \cdot q^2 = p^2\). Es ist leicht zu erkennen, dass die linke Seite, und somit auch die rechte Seite gerade sind, also ist \(p=2 \cdot k\) wobei k eine ganze Zahl ist. 
Wenn man diese Erkenntnis in die ursprüngliche Gleichung einsetzt erhält man: \(2= \frac {4k^2} {q^2}\). Durch multiplizieren mit \(q^2\) auf beiden Seiten und teilen durch 2 wird ersichtlich, dass auch q eine gerade Zahl ist. Wir wissen nun, dass q und p, also Nenner und Zähler der \(\sqrt2\) gerade sind. Wir wissen aber auch, dass alle geraden Zahlen einen gemeinsamen Teiler von 2 haben und somit der gcd von  p und q > 1 ist. Wir haben also nun zur ursprünglichen Annahme, dass \(\sqrt2\) eine rationale Zahl ist widersprochen und damit bewiesen, dass sie irrational ist.
Grüße
Fix
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