Abbildung <=> Matrix

Aufrufe: 62     Aktiv: 29.06.2021 um 10:49

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Habe nur eine kurze Verständnisfrage : der Prof meinte in der Vorlesung jeder Matrix entspringt einer Abbildung jeder Abbildung entspringt einer Matrix. Hierzu meine Frage, ist das so gemeint,
-)Wenn ich eine lineare Abbildung habe von Vektorraum V in den Vektorraum W (f : V -> W) ist das dann so, dass man zu dieser Matrix über den Fortsetzungssatz ganz einfach eine Darstellungsmatrix festlegen kann so, dass wenn V Elemente des K^(n) beinhaltet, über die Matrix K^(m * n) * K^(n) auf den K^(m) eben über diese Festlegung der Matrix abgebildet werden kann?
(=> jeder Abbildung entspricht einer Matrix?)

(<= Jede Matrix entspricht einer Abbildung)
Ist das so gemeint, ich habe jetzt eine Matrix und diese Matrix kann ich mir durch die Bilder der Basisvektoren basteln, ferner wenn ich eine Abbildung vom K^(n) in den K^(m) über eine Matrix aus dem K^(n x m), so entsprechen die Spalten der Matrix und damit die Matrix dieser Abbildung, d.h. zu jeder Matrix gibt es eine Abbildung, also ist das genau so gemeint? (also die Rückrichtung)

Allenfalls ist lin. Algebra ein Thema, wo ich jetzt schon Angst habe - welche Abstrakte fragen da kommen könnten, deswegen, wäre es nett, wenn jemand wüsste, was es da noch geben könnte, außer Abbildung mit Matrix festlegen, über das Bild der Einheitsvektoren, bzw. einen entsprechenden Basiswechsel in dem jeweiligen Abbildungsraumes.

Vielen Dank
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Streng genommen müsste man sagen, dass es nach Wahl einer Basis eine Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen gibt.
Sind $V,W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume, $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$ und $w_1,\ldots,w_n$ eine Basis von $W$, dann kann man daraus die Matrix mit Spalten $f(v_1),\ldots,f(v_n)$, dargestellt als Linearkombination der $w_i$, basteln. Hat man umgekehrt eine Matrix $M\in K^{m\times n}$, dann kann man daraus die lineare Abbildung $v_i\mapsto Mv_i$, wobei $Mv_i$ wieder bezüglich der Basis $w_i$ zu lesen ist, konstruieren, die durch Fortsetzung eine eindeutige lineare Abbildung definiert. Und diese beiden Konstruktionen sind Umkehrungen voneinander, d.h. wenn man zuerst die eine macht und dann die andere, kommt man wieder da raus, wo man angefangen hat.
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Danke Stal für deine Antwort, ich gebe jetzt zu, dass ich mir einen neuen Account erstellt habe, weil es mir einfach peinlich war, meine Matheprüfung beim 1. Mal nicht geschafft zu haben - bzw. bin ich auch irgendwie froh, ich merke sichtlich, wie ich mich weiterentwickelt habe, bzw. ist der Prof, wie schon mal geschrieben, um einiges humaner. Bezüglich Linearer Abbildungen habe ich jedoch ein wenig ein ungutes Gefühl - und da mit meinem alten Account eine Frage gestellt, die ich mir trotz dessen dass ich mittlerweile 90% des ganzen Stoffes - zwar nicht 100% formal - verstehe, immer immer noch nicht erklären kann - was ich da überhaupt machen muss - und möchte natürlich auch keine neue Frage dafür erstellen.
https://www.mathefragen.de/frage/q/dcb67c78b4/lineare-algebra/
Allgemein ist mir vollkommen unklar, was die Angabe von mir fordert, ferner ist die einzige Idee die ich habe die Inverse der Abbildungsmatrix zu berechnen, aber wie das mit den jeweiligen zwei Basen zusammenhängt - hab ich leider überhaupt keine Ahnung, und es wird auch nicht wirklich gut erklärt- auch wenn ich nicht davon ausgehe, dass mein jetziger Prof ein derartiges Beispiel geben wird, habe ich natürlich trotzdem ein ungutes Gefühl.
https://www.youtube.com/watch?v=CR7e7Zc0QLg&t=277s Ich kann mir nur dafür das Video zur Hilfe holen, dieses dient aber auch nur zum Koordinatenwechsel zweier Basen, die gleichdimensional sind
Lange Rede, kurzer Sinn - vielen, vielen Dank für all deine Hilfe bis jetzt & auch bei meinem alten Account, unbezahlbar, aber vielleicht kannst du mir hierzu auch noch kurz helfen, danke :)


  ─   sven03 28.06.2021 um 18:16

Vielen Dank für die netten Worte, ich helfe immer gern :) Ich habe dir bei deiner anderen Frage eine Antwort geschrieben   ─   stal 29.06.2021 um 09:54

Vielen Dank Stal :) Diesmal habe ich noch Zeit, mich so etwas zu beschäftigen, wenn man die Fragen, die ich damals gestellt habe, mit jenen von heute vergleiche, besteht ja doch Hoffnung, dass ich die Prüfung bestehe - allenfalls habe ich diesmal wirklich nahezu 100% der Vorlesung verstanden und mich sogar mit Beweisen beschäftigt, die der Professor nicht durchgemacht hat (Basiswechsel von Leibnitz z.B. auch, und da helfen Beweisen, weiteres besser zu verstehen :) ) - zudem ist das ein Beispiel meines vorigen Professors, bei dem ich die Prüfung nicht geschafft habe, der nicht nur alles extrem schlecht erklärt hat (wobei ich mich Gott sei Dank auch weiterentwickelt habe - & man merkt prinzipiell, wie wenig man vor der Uni gewusst hat, auch anhand meiner jetzigen und vorigen Fragen :D), sondern auch derartige Beispiele abprüft, was von meinem jetzigen Professor, ein humanerer, um ehrlich zu sein, nicht zu erwarten ist - ehrlicherweise kann ich mich zwar mit dem ein oder anderen beschäftigen, kann aber nicht die ganze lineare Algebra abdecken, das geht einfach nicht - wobei der Koordinatenwechsel kurz im Buch angeschnitten wird, aber eben sehr unscharf

Danke auf jeden Fall :)
  ─   sven03 29.06.2021 um 10:49

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