Entweder mittels normaler Integration. Dabei werden die Flächen unterhalb der x-Achse allerdings abzogen. Dies geht folgendermaßen:
\[  \int_0^2 (x^3-x) \text{d}x = \left[ \frac{1}{4} x^4-\frac{1}{2}x^2 \right]_0^2 = \left(\frac{1}{4}2^4-\frac{1}{2}2^2\right) - \left(0^4-\frac{1}{2}0^2\right) = 2. \]
Bei deiner Aufgabenstellung sieht es eher danach aus, als wenn du die Flächen unterhalb der x-Achse auch "positiv" einrechnen musst. Dazu schaust du zuerst, wo der Graph unterhalb der \(x\)-Achse liegt.
\begin{align*}
  & x^3-x \geq 0 \\
\Leftrightarrow & x^3 \geq x &&\mid:x \text{ beachte, dass } x\in[0;2] \text{ und der Punkt 0 bei Integration egal ist (Nullmenge) }\\
\Leftrightarrow & x^2 \geq 1 && \mid \sqrt\cdot \text{ negative Wurzel muss hier nicht bachtet werden, da } x\in[0;2] \\
\Leftrightarrow & x \geq 1 \\
\end{align*}
\(f\) ist also negativ auf \( [0;1) \) und positiv auf \( (1;2] \). Dann ist die Fläche
\[  \int_0^1 -f(x) \text{d}x + \int_1^2 f(x) \text{d}x =\ldots = 2,5 \]

Eine Fläche berechnest du immer mit dem Integral. Dazu integriest du deine Funktion und setzt für x jeweils deine Grenzen (2 und 0 ein). Um die Fläche zu ermitteln rechnest du die obere Grenze minus die untere Grenze