Sei \(x\in\mathbb R\) fest. Dann definiert \(f(x,\cdot)\), also \(\widetilde f:\mathbb R\to\mathbb R, y\mapsto f(x,y)\) eine Abbildung mit \(\widetilde f'=0\). Daraus folgt, dass \(\widetilde f\) konstant ist, also die Behauptung.

Wähle zunächst \(y_1,y_2 \in \mathbb{R}\) mit \(y_1 \neq y_2\). Dann benutzt du die Voraussetzung \(\dfrac{\partial f}{\partial y_1}=0\) bzw. \(\dfrac{\partial f}{\partial y_2}=0\) und bestimme jeweils \(f(x,y_1)\) und \(f(x,y_2)\) durch separieren der Variablen.

Hoffe das hilft weiter.