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Hallo,
wie habt ihr denn Stetigkeit definiert? Was habt ihr zu dem Thema gemacht? Meistens führt die Vorlesung zu dem Satz, dass die Komposition von stetigen Funktion wieder stetig ist. Wenn ihr das gemacht habt, dann ist das ein Satz den du dir auf jeden Fall merken solltest!
Wenn ihr das nicht gemacht habt, müssen wir die Stetigkeit über die Definiton beweisen. Dafür müsstest du wie gesagt einmal sagen, wie ihr die Stetigkeit definiert habt.
Zur Fortsetzung: Nennen wir die Fortsetzung mal \( g(x) \). Damit die Funktion \( f(x) \) stetig in die Funktion \( g(x) \) übergeht, was muss für \( g(1) \) denn auf jeden Fall gelten?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Dann muss gelten, dass g(1) = f(1)
─
m.hilfe
10.10.2020 um 16:42
Ja genau :) und was ist \( f(1) \)?
─
christian_strack
12.10.2020 um 08:57
f(1) ist e
Ich habe nicht ganz verstanden, was das genau heißt ─ m.hilfe 12.10.2020 um 12:31
Ich habe nicht ganz verstanden, was das genau heißt ─ m.hilfe 12.10.2020 um 12:31
Genau. Nun kommen wir zur Stetigkeit. Zuerst zur Funktion selbst. Du hast hier eine Summe von Verknüpfungen von stetigen Funktionen. Die Funktionen
$$ a(x) = e^x , \quad b(x) = x , \quad c(x) = x^2 $$
sind alle stetig, deshalb ist auch die Funktion
$$ f(x) = a(c(x)) + c(x) - b(x) = e^{x^2} + x^2 - x $$
stetig.
Jetzt kommen wir zur Fortführung:
Eine Möglichkeit Stetigkeit zu definieren ist über den links- und rechtssetigen Grenzwert. Wenn diese Grenzwerte für einen Punkt gleich sind, ist unsere Funktion in diesem Punkt stetig.
Linksseitiger Grenzwert bedeutet, wir betrachten einen Punkt und nähern uns von links, also bzgl der x-Achse betrachten wir die Werte die noch kleiner sind aber quasi schon gleich sind. Betrachten wir den Wert \( x_0 \) schreiben wir
$$ \lim\limits_{x \nearrow x_0} f(x) $$
Analog schreiben wir für den rechtsseitigen Grenzwert
$$ \lim\limits_{x \searrow x_0} f(x) $$
Wenn eine Funktion in einem Punkt stetig ist, muss in diesem Punkt
$$ \lim\limits_{x \nearrow x_0} f(x) = f(x_0) = \lim\limits_{x \searrow x_0} f(x) $$
Also wir betrachten deine Funktion \( f(x) \). Diese soll so fortgesetzt werden, sodass die Fortsetzung in \( x_0 =1 \) stetig ist.
Die Funktion \( f(x) \) ist nur "links" vom Punkt definiert. Deshalb betrachten wir den linksseitigen Grenzwert
$$ \lim\limits_{x \nearrow 1} f(x) = f(1) = e $$
Damit die Funktion in diesem Punkt stetig ist, muss dieser Grenzwert mit dem rechtssetigen übereinstimmen. Für den rechtssetigen müssen wir aber die Fortsetzung \( g(x) \) betrachten.
$$ \lim\limits_{x \searrow 1} g(x) = f(1) = e $$
Wir brauchen also damit diese beiden Funktionen übereinstimmen eine Funktion \( g(x) \) für die \( g(1) = e \) gilt. Um diese Funktion zu wählen haben wir nun viele Möglichkeiten. Wir könnten beispielsweise die Funktion
$$ g(x) = e^x $$
nehmen. Aber am einfachsten wäre einfach die Funktion
$$ g(x) = e $$
diese ist konstant und hat somit bei \( x=1 \) den nötigen Funktionswert um die Stetigkeit zu gewährleisten :) ─ christian_strack 12.10.2020 um 14:13
$$ a(x) = e^x , \quad b(x) = x , \quad c(x) = x^2 $$
sind alle stetig, deshalb ist auch die Funktion
$$ f(x) = a(c(x)) + c(x) - b(x) = e^{x^2} + x^2 - x $$
stetig.
Jetzt kommen wir zur Fortführung:
Eine Möglichkeit Stetigkeit zu definieren ist über den links- und rechtssetigen Grenzwert. Wenn diese Grenzwerte für einen Punkt gleich sind, ist unsere Funktion in diesem Punkt stetig.
Linksseitiger Grenzwert bedeutet, wir betrachten einen Punkt und nähern uns von links, also bzgl der x-Achse betrachten wir die Werte die noch kleiner sind aber quasi schon gleich sind. Betrachten wir den Wert \( x_0 \) schreiben wir
$$ \lim\limits_{x \nearrow x_0} f(x) $$
Analog schreiben wir für den rechtsseitigen Grenzwert
$$ \lim\limits_{x \searrow x_0} f(x) $$
Wenn eine Funktion in einem Punkt stetig ist, muss in diesem Punkt
$$ \lim\limits_{x \nearrow x_0} f(x) = f(x_0) = \lim\limits_{x \searrow x_0} f(x) $$
Also wir betrachten deine Funktion \( f(x) \). Diese soll so fortgesetzt werden, sodass die Fortsetzung in \( x_0 =1 \) stetig ist.
Die Funktion \( f(x) \) ist nur "links" vom Punkt definiert. Deshalb betrachten wir den linksseitigen Grenzwert
$$ \lim\limits_{x \nearrow 1} f(x) = f(1) = e $$
Damit die Funktion in diesem Punkt stetig ist, muss dieser Grenzwert mit dem rechtssetigen übereinstimmen. Für den rechtssetigen müssen wir aber die Fortsetzung \( g(x) \) betrachten.
$$ \lim\limits_{x \searrow 1} g(x) = f(1) = e $$
Wir brauchen also damit diese beiden Funktionen übereinstimmen eine Funktion \( g(x) \) für die \( g(1) = e \) gilt. Um diese Funktion zu wählen haben wir nun viele Möglichkeiten. Wir könnten beispielsweise die Funktion
$$ g(x) = e^x $$
nehmen. Aber am einfachsten wäre einfach die Funktion
$$ g(x) = e $$
diese ist konstant und hat somit bei \( x=1 \) den nötigen Funktionswert um die Stetigkeit zu gewährleisten :) ─ christian_strack 12.10.2020 um 14:13
vielen vielen dank für die ausführliche Antwort
─
m.hilfe
12.10.2020 um 18:14
Sehr gerne :)
─
christian_strack
12.10.2020 um 18:17