Wie substituiere ich mehrdimensionale Integrale?

Aufrufe: 110     Aktiv: 24.05.2021 um 17:30

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Hallo Zusammen

Ich hätte folgende Aufgabe:
Berechnen Sie das Integral \(\int_D \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}dxdy\) mit \(a,b\in \mathbb{R}_{>0}\) wobei D beschränkt ist durch die Ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
Ich habe nun die Menge D umgeschrieben und hab erhalten \(D=\{(x,y):-a \leq x \leq a, -\sqrt{b^2-(\frac{bx}{y})^2}\leq y \leq \sqrt{b^2-(\frac{bx}{y})^2}\}\). 
Nun wurde mir der Tipp gegeben, eine Substitution durchzüführen mit \(\frac{x}{a}=r\cdot cos \phi\) und \(\frac{y}{b}=r\cdot sin \phi\). Nun muss ich ja sowohl die Menge als auch die Funktion umschreiben. Dabei dachte ich, dass man dafür den Transformationssatz gebrauchen könnte, doch irgendwie klappt das nicht, ich stehe an diese Menge umzuschreiben und währe froh wenn mir jemand helfen könnte. Und mir allgemein vielleicht auch kurz erklären könnte wie man vorgeht bei der Substitution mit Polar/Zylinder/Kugelkoordinaten (sind ja alle ähnlich)

Vielen Dank
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1 Antwort
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Hallo,

der Transformationssatz ist hier der richtige Weg. Ich würde nur transformieren, bevor du dir Überlegungen über die Grenzen machst.

Wir setzen erstmal die Transformation ein. Die Transformation wird beschrieben durch

$$ \Phi\left( r, \phi \right) = (\underset{=x}{\underbrace{a r \sin (\phi)}}, \underset{=y}{\underbrace{br \cos(\phi)}})   $$

und erhalten

$$ \int\limits_\Omega \sqrt{1 - \frac {x^2} {a^2} - \frac {y^2} {b^2}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int\limits_{\Phi(\Omega)^{-1}} \sqrt{1- r^2 \cos( \phi) - r^2 \sin(\phi)} \ \mathrm{det}(D\Phi(r, \phi)) \ \mathrm{d}r \mathrm{d}\phi $$

(ich habe hier für das Gebiet \( \Omega \) gewählt, damit es mit dem \( D \) für die Ableitung keine Verwirrung gibt). Den Ausdruck unter der Wurzel kann man noch weiter vereinfachen. Wie sieht der Ausdruck aus?

Nun müssen wir uns 2 Dinge überlegen. Fangen wir mit der Funktionaldeterminante \( \mathrm{det}(D\Phi(r, \phi)) \) an. Wir brauchen erst die Jacobi Matrix

$$ D \Phi (r, \phi) = \begin{pmatrix} \frac {\partial x } {\partial r} & \frac {\partial x } {\partial \phi} \\ \frac {\partial y } {\partial r} & \frac {\partial y} {\partial \phi}  \end{pmatrix} $$

Wie sieht die Jacobi Matrix also aus? Wie sieht die Determinante davon aus? 

Die zweite Überlegung betrifft die Grenzen. Das sieht an den Grenzen kompliziert aus, aber im Prinzip nutzen wir einfach wieder unsere Transformation und wenden diese auf unser Gebiet an. Setze dort doch auch mal deine Transformationsgleichungen aus dem Hinweis ein. Was bleibt für das Gebiet?
Welche Informationen können wir für den Radius daraus ziehen? Gibt es Einschränkungen für den Winkel?

Wenn wir das alles haben, müssen wir nur noch einsetzen und das Integral lösen. Es bleibt ein sehr schöner Ausdruck übrig wie du sehen wirst. 

Versuch dich mal, ich gucke gerne nochmal drüber.

Transformationen in Polar-, Zylinder-, oder Kugelkoordinaten laufen analog ab. Hier stehen nur die Transformationen schon fest und deshalb kann man sich auch die Determinante der Jacobi Matrix merken. Du findest die Determinanten unter den Bezeichnungen Flächenelement (in 2D) und Volumenelement (in 3D).

Grüße Christian
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Hallo Christian

Wow was für eine Antwort!! vielen Dank du hast gerade mehrere Unklarheiten bezüglich der Transformation bereinigt. Ich werde mich gleich mal an die Aufgabe wagen und würde sie dir sehr gerne nochmals zeigen!
Nun hätte ich aber noch eine Frage bezüglich des Transformationssatzes:
Wir mussten jeweils in der Vorlesung immer zeigen dass \(\phi\) ein \(C^1\)-Diffeomorphismus ist, da haben wir aber Aufgaben mit allgemeinen Koordinatentransformationen betrachtet, also keine Polar/Zylinder/Kugelkoordinaten.

In solchen Aufgaben mit Polar/Zylinder/Kugelkoordinaten haben wir/ich das aber nie gemacht, da ja die eindeutige Zuordnung solcher Koordinaten bezüglich der kartesischen Koordinaten offensichtlich ist. oder ist das falsch?
  ─   karate 24.05.2021 um 14:53

Das freut mich zu hören :)
Ja zeig gerne her. Ich gucke dann nochmal drüber.

Im allgemeinen muss man das zeigen. Die Abbildung \( \Phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) ist tatsächlich kein Diffeomorphismus. Man muss den Definitionsbereich und Wertebereich noch etwas einschränken. Es passt aber eingeschränkt immer noch als Transformation. Das wird meistens mit Hilfe des Satzes über die Umkehrabbildung gezeigt. Dort musst du die Determinante der Jacobi Matrix bestimmen. Meistens kommt dann noch als erstes Resultat \( r \neq 0 \).
Ich meine damit dann wirklich ein globaler und nicht nur lokaler Diffeomorphismus vorliegt, muss noch die Injektivität gezeigt (oder eher konstruiert) werden. Macht auch Sinn, denn weder Sinus noch Kosinus sind injektiv.
Da bin ich mir aber gerade nicht mehr 100% sicher, ist doch schon etwas her. Ich suche dir gleich mal noch einen Beispielbeweis raus für die 3 Transformationen. Der Rest läuft meistens ziemlich analog.
  ─   christian_strack 24.05.2021 um 15:19

https://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/phyws12/di3010.pdf
ab Seite 2 ganz unten das Korollar. Das ist das was ich meinte. Und danach kommen dann die 3 Beispiele.
  ─   christian_strack 24.05.2021 um 15:21

Super bin gleich fertig.

Aha also wir haben es für Polar/Zylinder/Kugelkoordinaten bereits bewiesen, das heisst man muss bei Aufgaben wo man nur Polar/Zylinder/Kugelkoordinaten benützt nicht mehr zeigen dass \(\phi\) ein \(C^1\)-Diffeomorphismus ist. Wenn ich nun aber andere Koordinatentransformationen wie hier z.B. benütze, dann muss ich das noch zeigen.
  ─   karate 24.05.2021 um 15:26

Ja genau. Um in diese 3 bekannten Räume zu transformieren, reicht es einmal zu zeigen das ein Diffeomorphismus vorliegt. Der ändert sich ja nicht :)
Von den Polarkoordinaten zu der elliptischen Transformation die wir hier vornehmen gibt es ja auch kaum einen Unterschied.
Ich denke auch gerade drüber nach ob vielleicht folgendes Argument ausreicht: Wenn \( \varphi \) der Diffeomorphismus für die Polarkoordinaten ist, dann muss
$$ \Phi(r,\varphi) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \cdot \varphi(r, \varphi) $$
als Komposition von Diffeomorphismen selbst ein Diffeomorphismus sein.
  ─   christian_strack 24.05.2021 um 16:07

Ah okei also ich wäre fertig mit meinem Rechnungsweg (also den Beweis für den Diffeomorphismus habe ich noch nicht gemacht), jedoch kann ich hier irgendwie zusätzlich kein Bild mehr hochladen kennst du gerade eine Lösung für solche Fälle oder muss ich eine Neue Frage eröffnen?   ─   karate 24.05.2021 um 16:15

Ja da wird hier gerade dran gearbeitet. Momentan kannst du hier leider kein Bild hochladen. Ein Fragesteller in einer anderen Frage hat mir seine Rechnung hier drüber geschickt: https://imgur.com
Zur Not mach eben eine neue Frage auf und schick mir den Link hier rein :)
  ─   christian_strack 24.05.2021 um 16:44

https://imgur.com/a/anIREXt

Geht das nun so? also kannst du sie sehen?
  ─   karate 24.05.2021 um 16:46

yes ich gucke es eben durch   ─   christian_strack 24.05.2021 um 16:47

Super danke!   ─   karate 24.05.2021 um 16:50

Sieht für mich alles wunderbar aus. Allerdings würde ich sagen, dass
$$ 0 \leq \phi \leq 2\pi $$
gilt. Du betrachtest ja eine ganze Umdrehung. Auch wenn du dir deine neuen Grenzen anguckst, beschreibt \( \sqrt{1-r^2\cos^2(\phi )} \)ja die halbe Drehung. Aber du hast ja auch als untere Grenze \( - \sqrt{1-r^2\cos^2(\phi )} \) und das sollte dann die zweite halbe Drehung beschreiben also insgesamt eine ganze Drehung.

Was meinst du dazu?
  ─   christian_strack 24.05.2021 um 16:55

oh ja macht Sinn, habe mich zu fest von der Skizze leiten lassen ohne die untere Hälfte zu betrachten vielen Dank dann versuche ich nun noch zu beweisen dass es ein Diffeomorphismus ist.   ─   karate 24.05.2021 um 16:57

Sehr gerne :)
Beim Diffeomorphismus kannst du dich ja an dem Link entlanghangeln. Das sollte ziemlich analog zu den Polarkoordinaten ablaufen. Ansonsten glaube ich sollte auch meine Aussage mit der Verkettung passen. Aber da bin ich mir nicht zu 100% sicher.
  ─   christian_strack 24.05.2021 um 17:04

perfekt danke!   ─   karate 24.05.2021 um 17:30

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