Grenzwertberechnung

Aufrufe: 83     Aktiv: 17.03.2021 um 12:24

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Hi,

ich arbeite gerade ein Übungsbuch ab. Bin beim Kapitel Grenzwertberechnung und hab viel Theoriekram dazu gelesen, aber weiß immer noch nicht, wie 

ich jetzt genau die Aufgabe zu lösen habe. Die Aufgabe lautet folgendermaßen:

"Berechnen Sie die nachfolgenden Grenzwerte."

Was ich gemacht habe, ist das hier...


Als Ergebnis kommt 1 raus. So stehts im Buch. Bei mir ist es aber nur eine Vermutung und ich weiß halt nicht, wie ich das wirklich berechne..

Noch schlimmer wird es dann bei dieser Aufgabe...

Ergebnis ist übrigens 2. Überall, wo ich es online ausrechnen lasse, kommt 14 raus,






Was ich bislang weiß, ist, dass Grenzwerte gegen unendlich einmal für + inf und einmal gegen - inf überprüft werden müssen.
So steht es zumindest auch hier:

https://www.mathebibel.de/grenzwert#:~:text=Der%20Grenzwert%20ist%20eine%20wichtige%20Kennzahl%20im%20Rahmen%20einer%20Kurvendiskussion.&text=Der%20Grenzwert%20im%20Unendlichen%20(x,x%20%E2%86%92%20%E2%88%92%20%E2%88%9E%20)%20werden.

Aber die Frage ist nun: Wie berechnet man das genau???
Gibt es zufällig ein Video von Herrn Jung, wo die Berechnung erklärt wird?

Danke!



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2 Antworten
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Zu deinen konkreten Beispielen gibt es eine sinnvolle Vorgehensweise: du eliminierst durch Kürzen entweder im Zähler oder im Nenner das \(x\)

Beispiel 1:

\(\dfrac{x+1}{x} = \dfrac{x}{x}\cdot \dfrac{1+\frac{1}{x}}{1}=\dfrac{1+\frac{1}{x}}{1}\)

Jetzt steht \(x\) nur im Zähler und du kannst den Grenzwert machen. Für \(x\to\infty\) verschwindet also \(\dfrac{1}{x}\) und es bleibt \(\dfrac{1}{1}=1\) stehen.

Beispiel 2:

Das Beispiel musst du anders eingeben (der Bruchstrich muss überall hin:
\(\dfrac{2x+12}{x} = \dfrac{x}{x}\cdot \dfrac{2+\frac{12}{x}}{1}\). Dann kannst du genausso vorgehen wie bei Beispiel 1. Versuche es mal und melde dich bei Fragen!

Beispiel 3 geht genauso - probiere es! :)
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Vielen Dank! Ich habe gerade gesehen, dass ich die 2. Aufgabe etwas unstrukturiert gepostet habe. Tut mir leid, falls Sie etwas verwirrt waren.

Zur ersten Aufgabe: Das sind Grenzwerte für "ganzrationale" Funktionen, oder?

Sind diese Videos für die Erklärung passend?

https://www.youtube.com/watch?v=MI93ZGBb9zE&t=16s
  ─   uyildiz0 17.03.2021 um 12:24

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Zu deinem zweiten Beispiel: Das ist eine völlig andere Aufgabe, die du eingibst. Du musst um den Nenner Klammern setzen! Das sieht man aber doch auch auf dem Bild, dass die 12 nicht im Nenner steht. 

Es ist ja dann ein ziemlich schlechtes Buch, wenn solch ein Beispiel nicht erklärt wird. 

Vorgehensweise: Klammere \(x\) im Zähler und Nenner aus, damit du kürzen kannst. Dann erhältst du $$\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x(1+\frac{1}{x})}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\rightarrow 1,\quad x\rightarrow\infty.$$ Das gilt deshalb, weil man weiß (warum?), dass \(\frac{1}{x}\rightarrow 0\) für \(x\rightarrow \infty\). Analog kannst du damit auch andere Beispiele lösen. 

Darüber hinaus gibt es einige leicht zu merkende Resultate für Ausdrücke der Form \(\frac{p(x)}{q(x)}\), wenn \(p\) und \(q\) ganzrationale Funktionen sind. Erstaunlich, dass die das bei deiner Theorie noch nicht untergekommen zu sein scheint.
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