Vollständige Induktion

Erste Frage Aufrufe: 743     Aktiv: 04.01.2021 um 14:26

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Hallo!

Ich habe ein Beispiel, bei dem ich nicht dahinterkomm, wo mein Fehler liegt.

Gefragt ist der Beweis mit vollständiger Induktion für:

\(\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^n}\)

Mein Rechengang:

1. Beweis für n=1:

\(\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\)

\(1-\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\)

2. \(s_{n+1}\)  aus Induktionsannahme \(s_{n}\) ermitteln

\(s_{n} = 1-\frac{1}{2^{n}}\)

daher \(s_{n+1}=1-\frac{1}{2^{n+1}}\)

3. Ermitteln von \(a_{n+1}\):

\(a_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)

daher \(a_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}\)

4. \(s_{n+1}\) aus Induktionsannahme + \(a_{n+1}\) ausrechnen:

\(s_{n+1} = s_{n}+a_{n+1} = 1-\frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n+1}}\)
\(=1-\frac{2}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}} = 1-\frac{2+1}{2^{n+1}} = 1-\frac{3}{2^{n+1}}\)

Da \(1-\frac{3}{2^{n+1}} \neq 1-\frac{1}{2^{n+1}}\) wäre mein Ergebnis, dass die Induktionsannahme falsch ist, was aber nicht die Richtige Lösung ist.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wo da mein Fehler liegt?

Danke!

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Punkte: 29

1+2=3 hat vor langer Zeit bearbeitet

 

bei \frac{..}{..} dürfen keine Lücken sein, sonst klappt es nicht ;)   ─   jojoliese 04.01.2021 um 13:56

Danke! Das mit den Lücken ist ausgebessert, funktioniert aber noch immer nicht...
Hab die Befehle auch aus der Hilfe so (mit Leerzeichen) rauskopiert eigentlich...
  ─   hetg5 04.01.2021 um 13:59

Wenn man Sachen einfügt rendert es manchmal auch korrekte Sachen nicht
Zur Not einfach ein Foto oder Screenshot!
Aber probs für die Tippmühe
  ─   jojoliese 04.01.2021 um 14:00

In der Vorschau war es auch so, aber nachdem in dem Hilfe-Text stand "Damit man die umgewandelte Formel nach dem abschicken der Frage/Antwort sehen kann, muss die Internetseite einmal neu geladen werden." hab ich mir da noch nichts dabei gedacht... Hmmm ich schau nochmal ob ich was falsch gemacht hab, sonst schreib ich es vielleicht anders hin   ─   hetg5 04.01.2021 um 14:00

Es gibt irgendwie verschiedene "Textarten" und manchmal wenn man was reinkopiert wird das nicht mehr gerendert, weil es das als eine andere Textart interpretiert
Ich weiß nicht genau wie das ist, aber ich denke dass es daran liegt
Mich kann gern jemand korrigieren
  ─   jojoliese 04.01.2021 um 14:03

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Ahhh ich sehe deinen Fehler schon
Letzte Zeile die Zähler
Da steht -2+1 also -1 und nicht -3
  ─   jojoliese 04.01.2021 um 14:18

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Ein richtig waschechter Schusselfehler in einem schönen Induktionsbeweis :D   ─   jojoliese 04.01.2021 um 14:19

Ja scheint so... Ich hab jetzt nochmal nachgetippt, einiges funktioniert jetzt, einiges nicht...
Gut dass man von der Seiteneigenen Liste der Formeln nichts da rein kopieren kann, sehr benutzerfreundlich, das alles... 🙄
  ─   hetg5 04.01.2021 um 14:19

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Die LaTeX-Darstellung funktioniert, wenn du deine gesamte Antwort einmal kopierst, in einen Texteditor o.Ä. einfügst, sie dann dort wieder herauskopierst und dann hier einfgüst. Natürlich nur, wenn der LaTeX-Code an sich keine Fehler enthält. Warum das so verbuggt ist weiß ich nicht, werde ich mal melden.   ─   1+2=3 04.01.2021 um 14:20
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Also wie eben schon im Kommentarbereich bemerkt:

Du hast geschusselt bei den Zählern der letzten Umformung: \( -2+1=-1 \) und nicht \( -3 \)

Dann haut es wunderbar hin! :)

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Ach gott, danke!!
Du glaubst nicht wie lang ich nach dem Fehler gesucht hab ohne dass mir das aufgefallen ist :D
Manchmal braucht man echt ein "frisches Paar Augen" die drüberschauen!
  ─   hetg5 04.01.2021 um 14:25

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Wenn das dein größtes Problem bei dem Beweis war dann ist doch alles super :D
Tut mir leid, dass du so lange mit der Formatierung gekämpft hast für diesen kleinen Fehler ;)
  ─   jojoliese 04.01.2021 um 14:26

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