Hallo!
Ich habe ein Beispiel, bei dem ich nicht dahinterkomm, wo mein Fehler liegt.
Gefragt ist der Beweis mit vollständiger Induktion für:
\(\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^n}\)
Mein Rechengang:
1. Beweis für n=1:
\(\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\)
\(1-\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\)
2. \(s_{n+1}\) aus Induktionsannahme \(s_{n}\) ermitteln
\(s_{n} = 1-\frac{1}{2^{n}}\)
daher \(s_{n+1}=1-\frac{1}{2^{n+1}}\)
3. Ermitteln von \(a_{n+1}\):
\(a_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)
daher \(a_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}\)
4. \(s_{n+1}\) aus Induktionsannahme + \(a_{n+1}\) ausrechnen:
\(s_{n+1} = s_{n}+a_{n+1} = 1-\frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n+1}}\)
\(=1-\frac{2}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}} = 1-\frac{2+1}{2^{n+1}} = 1-\frac{3}{2^{n+1}}\)
Da \(1-\frac{3}{2^{n+1}} \neq 1-\frac{1}{2^{n+1}}\) wäre mein Ergebnis, dass die Induktionsannahme falsch ist, was aber nicht die Richtige Lösung ist.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wo da mein Fehler liegt?
Danke!