Hallo,

Zur der Frage a)

Hier ist ein Gegenbeispiel:

a = 21 und  b = 28

Wir haben dann  ggT( 21 , 28 ) = 7 

7 ist eine Primzahl wie gefordert, aber a und b haben wohl weitere Teiler, nämlich:

a hat noch 3 als Teiler, da a = 3×7

b hat noch die 2 und die 4 als weitere Teiler, da

b = 2 x14 = 4x7

Diese Teiler sind aber keine gemeinsamen Teiler für a und b .

Also ein NEIN für a) passt nicht.

Zu der Frage b):

Nehmen wir an, a und b haben einen weiteren gemeinsammen Teiler, wir nennen ihn wgT

Dieser wgT muss dann ein Teiler von p sein, da p der ggT von a und b ist.

p ist prim, also wgT ist entweder 1 oder p.

Somit haben die beiden Zahlen a und b keine weiteren gemeinsammen Teiler außer die Zahl 1 natürlich.

Frage a) JA

Frage b) NEIN

Du kannst dir bei der b) auch folgendes überlegen: 

der ggT von a und b ist das Produkt aller Primfaktoren, die a und b gemeinsam haben. Dieses Produkt  ist nur eine Primzahl wenn a und b nur genau diese eine Primzahl als einzigen gemeinsamen Teiler haben.

verstehst du was ich meine?