Aufgabe mit stetigen Wachstum und diskreter Wachstumsrate

Erste Frage Aufrufe: 814     Aktiv: 30.12.2020 um 14:04

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Das durchschnittliche stetige Wachstum des Pro-Kopf-Einkommens in Deutschland sei 2% p.a.. Das Pro-Kopf-Einkommen eines Deutschen ist derzeit 10mal so hoch wie das eines Inders. Wie hoch muss die durchschnittlichediskrete Wachstumsrate des Pro-Kopf-Einkommens eines Inders in% p.a. sein, wenn das Pro-Kopf-Einkommen in Deutschland und Indien nach 20 Jahren gleich sein soll

Könnte mir jemand  bitte helfen? Komme durcheinander weil stetig und diskret gefragt ist.

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1 Antwort
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Mach dir erstmal den Zusammenhang der stetigen Verzinsung mit der diekreten Verzinsung klar.
Für die diskrete Verzinsung (Zinseszins nach Periodenlaufzeit) gilt \(B(t)=B(0)*q^t \text { oder } B(t)= B(0)*e^{\lambda t} \text { mit } q=(1+i)= (1+\frac {p} {100} ) \text { und } q =e^{\lambda} ==> \lambda = ln( q) =ln (1+i)  \).
q ist der Wachstumsfaktor ; i ist der diekrete Zinssatz (immer bezogen auf eine Zinsperiode; meistens 1 Jahr).
weil gilt:  \( q=e^{\lambda} \text { ist } e^{\lambda} \) ebenfalls der Wachstumsfaktor. Das \( \lambda \) ist der stetige Zinssatz und folgt aus der Beziehung:
\( \lambda = ln(q) =ln (1+i)\). Der stetige Zinssatz ist kleiner als der diskrete Zinssatz.
(Beispiel: \( i=10\text {%}= \frac {1} {10} ==> q=(1+i)=(1,1); ==> ln(1,1) = 0,09531= 9,531 \text {% ist der stetige Zinssatz}\)
Jetzt zur Aufgabe.Stetiges Wachstum des Pro-Kopf- Einkommens in Deutschland (D) : \( E_D(t)=E_D(0)*e^{0,02}t\)
\(E_D(0) = 10*E_I(0)\) z.Zt Einkommen in D  ist 10 mal so hoch wie Einkommen in Indien( I).
In 20 Jahren soll \(E_D(20) = E_I(20) \text { sein. also  } E_D(20)= E_D(0)e^{0,02*20}= 10*E_I(0)*e^{0,02*20}= E_I(20) =*E_I(0)*e^{\lambda*20} ==> 10*e^{0,02*20} =  e^{\lambda *20} ==> 10 =\frac {e^{\lambda *20} } {e^{0,02*20}}=e^{20*(\lambda -0,02)}==> ln(10)= 20(\lambda -0,02)==> \lambda = \frac {ln(10)} {20} +0,02 =0,13513= 13,513 \text {% stetiger Zinssatz} ==> e^{\lambda}=1.1447 =(1+i) ==> i = 14,47 \text {% diskrteter Zinssatz)} \)

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Vielen Dank!!   ─   ma23 30.12.2020 um 14:02

Wenn für dich i.O. dann bitte Haken dran.   ─   scotchwhisky 30.12.2020 um 14:04

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