Ich glaube auch, dass das nur numerisch geht. Statt "Newton" geht auch einfach Fixpunktiteration. Die Gleichung schreibt sich als \( 3^x = 5.9 -2^x \), was \( x= log_3 (5.9-2^x) = \ln (5.9-2^x)/\ln{3} \) liefert. Jetzt iteriere \(x_{i+1} = \ln(5.9-2^{x_i})/\ln 3 \). Start mit x0=1 liefert eine Ergebnis um 1.16.
Zur Fixpunktiteration siehe auch Lernplaylist Unterhaltsame Mathematik.

Aus Spaß habe ich mal eine Implementierung einer binären Suche in Haskell gebaut.

####### Code #######

-- Von dieser Funktion wollen wir die Nullstelle finden.
f :: Double -> Double
f x = 2**x + 3**x - 5.9

-- Diese Funktion sucht die Nullstelle mittels binärar Suche.
-- Der Rückgabewert ist eine Liste aller Iterationsergebnisse.
h :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> [Double]
h f a b
  | f m < 0   = m : h f m b
  | otherwise = m : h f a m
  where m = (a + b) / 2

-- res entspricht den ersten 60 Itarationen.
res :: [Double]
res = take 60 (h f 0 2)

####### Ende #######

Bei der Eingabe von (mapM_ print res) erhalte ich

1.0
1.5
1.25
1.125
1.1875
1.15625
1.171875
1.1796875
1.17578125
1.177734375
1.1767578125
1.17626953125
1.176025390625
1.1761474609375
1.17608642578125
1.176116943359375
1.1761016845703125
1.1760940551757813
1.1760978698730469
1.1760997772216797
1.176100730895996
1.1761012077331543
1.1761009693145752
1.1761010885238647
1.17610102891922
1.1761010587215424
1.1761010736227036
1.176101066172123
1.1761010624468327
1.1761010643094778
1.1761010652408004
1.1761010657064617
1.1761010659392923
1.176101065822877
1.1761010658810847
1.1761010658519808
1.176101065837429
1.176101065830153
1.176101065833791
1.17610106583561
1.1761010658365194
1.1761010658360647
1.1761010658358373
1.1761010658357236
1.1761010658357804
1.1761010658358089
1.176101065835823
1.176101065835816
1.1761010658358124
1.1761010658358106
1.1761010658358098
1.1761010658358102
1.1761010658358104
1.1761010658358106
1.1761010658358106
1.1761010658358106
1.1761010658358106
1.1761010658358106
1.1761010658358106
1.1761010658358106

Man beachte, dass sich das Ergebnis am Ende nicht mehr verändert. Das liegt daran, dass Zahlen standardmäßig im Computer nicht exakter sind (IEEE 754). Immerhin hast du eine gute Approximation für \(x\).