Zeigen dass eine Menge eine Fläche ist

Aufrufe: 259     Aktiv: 28.05.2022 um 21:41

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Hallo, 

ich versuche mich an folgender Aufgabe, aber weiß leider überhaupt nicht wie und wo ich anfangen kann.

Sei $R>r>0$. Zeigen Sie, dass die Menge
$$ T={(x,y,z)^T|(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2=4R^2(x^2+y^2)}$$

eine reguläre Fläche ist.
In unserer Vorlesung haben wir eine reguläre Fläche so definiert:

Nun ist mein Problem jedoch, dass ich nicht eine solche Abbildung Phi habe

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$\phi$ ist eine sogenannte Parametrisierung. Lässt sich $S$ durch eine differenzierbare Funktion $f(x,y)=z$ beschreiben, so ist $\phi(x,y)=\big{(} x,y,f(x,y)\big{)}^T$ eine Parametrisierung der Fläche $S$. Stelle deine Gleichung nach $z$ um, dann hast du deine Funktion $f$ und damit auch deine Parametrisierung $\phi$. Dann musst du noch zeigen das diese homöomorph und differenzierbar ist.   ─   maqu 28.05.2022 um 20:45
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Ich glaube nicht, dass hier gefragt ist eine Parametrisierung zu suchen. Die obige (von maqu angeregte) funktioniert hier nicht gut, weil das Umstellen nach z zu mehreren verschiedenen Fällen führt (genauso wie das Umstellen nach x oder y). Diese Fälle müssten alle durchgespielt werden, was mühselig ist.
Hier sind vermutlich vielmehr Sätze aus der Vorlesung gefragt. Ich kann mir nicht gut vorstellen, dass in der Vorlesung nur die Def. von regulärer Fläche gegeben wurde und direkt danach die obige Aufgabe. Dazwischen sollte es hilfreiche Sätze geben, die auf dem Satz über implizite Funktionen basieren.
Diese findet man z.B. auch in dieser Diplomarbeit (Uni Wien), dort ist z.B. Proposition 4.6.1 und Beispiel 4.6.3 interessant.
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Interessant @mikn, danke für deine Antwort die auch mich etwas erleuchtet hat … da ich mir nicht sicher war hatte ich deswegen nur ein Kommentar verfasst   ─   maqu 28.05.2022 um 21:32

Ganz sicher bin ich auch nicht, daher schreibe ich "Ich glaube...", "vermutlich" u.ä.. Das obige ist, was sich mir nach längerem Nachlesen an Überlegungen aufdrängt.   ─   mikn 28.05.2022 um 21:41

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