Konvergenz reelle Folgen

Aufrufe: 70     Aktiv: 19.11.2021 um 14:40

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Hallo zusammen! Ich soll die Folge 

an= (2n-1)/(3n+1)
auf Konvergenz und ggf. den Grenzwert untersuchen. Durch Einsetzen von hohen n-Werten scheint die Folge gegen 0 zu laufen. Meine Idee (wobei ich mir gut vorstellen kann, dass es einfacher geht) ist, den Kehrwert der Folge gegen n abzuschätzen. Also mit vollständiger Induktion zu zeigen, dass (3n+1)/(2n-1) > n ist für alle n aus den natürlichen Zahlen, um dann mit (2n-1)/(3n+1) < 1/n zu zeigen, dass der Betrag kleiner epsilon ist. Sollte das Ganze bis hierhin noch richtig bzw logisch sein, habe ich Probleme beim Induktionsschritt, also z.z, dass (3n+1+1)/(2n+1-1) > n+1 ist. Ich schaffe es nicht, den Bruch so aufzuteilen, dass ich die Voraussetzung einsetzen kann...
Danke schonmal fürs Helfen:-)

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1 Antwort
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Zu Deiner Induktion hab ich auch keine Idee.
Aber relativ einfach geht eine Abschätzung gegen eine andere Nullfolge. Beachte: Ein Bruch wird größer, wenn der Zähler größer wird oder der Nenner kleiner (oder beides). Geht in einer Zeile ohne Induktion.
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Danke für die Antwort. Ich hab das Ganze jetzt nach (2/3)^n abgeschätzt, und dann gilt ja (2/3)^n ist kleiner gleich (2/3)^N und dann gibt es in archimedisch angeordnetem Körper auf jeden Fall ein N, s.d (2/3)^N kleiner als epsilon ist.   ─   hikarunaka2711 19.11.2021 um 09:09

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Ja, das meinte ich. Wenn Du über epsilon-N begründen willst, dann genau so. Erwähnen muss man aber noch, dass $a_n>0$ ist.   ─   mikn 19.11.2021 um 13:14

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ja, vielen dank nochmal für die Hilfe!
  ─   hikarunaka2711 19.11.2021 um 13:34

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Wenn's endgültig geklärt ist, dann bitte als beantwortet markieren. Das hilft den Helfern den Überblick zu behalten.   ─   mikn 19.11.2021 um 13:55

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Ich bin irgendwie blind, wo kann man das markieren?
  ─   hikarunaka2711 19.11.2021 um 14:26

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Da müsste links neben meiner Antwort oben, ein Haken zum anclicken sein. Unter den Markierungen für up/downvotes.   ─   mikn 19.11.2021 um 14:40

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