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Bitte um Hilfe...

Wie zeige ich das R ein Ring ist, weil die reellen Zahlen ein Ring sind und die reellen Zahlen sind auch ein Körper, aber R ist nur ein Körper, wenn X nur ein Element besitzt.

 

EDIT vom 21.06.2022 um 11:27:

stimmt das bisher so?

EDIT vom 21.06.2022 um 17:03:

stimmt das erstmal so für das Assoziativgesetz? Also muss ich nirgends schreiben das xX weil ja steht das R definiert ist als Funktion f:{X-> reellen Zahlen?}

EDIT vom 21.06.2022 um 17:25:

stimmt das so? Auch mit dem Nachweis des Nullelements?

EDIT vom 21.06.2022 um 20:17:

fehlt nicht noch was zu R? Habe ja nur jetzt die reellen Zahlen genommen 

EDIT vom 21.06.2022 um 22:59:

Ich habe jetzt die ganzen ringaxiome bewiesen und damit den ersten Teil der Aufgabe erledigt...stimmt das so?

EDIT vom 22.06.2022 um 10:17:

stimmt das jetzt so?

EDIT vom 22.06.2022 um 11:23:

also so jetzt?

EDIT vom 22.06.2022 um 11:50:

Stimmt es jetzt?

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Es ist genau das gleiche wie in andere Frage, fang am besten einfach mal an und alde hoch. Bei deiner Frage über Produkt von Ringe habe ich ja gesehen, dass du schon gelernt hast und kannst. Wenn du mit Ringaxiome fertig bist, kann ich dir gerne Tipp wegen Körper geben
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Also wähle ich jetzt für X 3 beliebige Werte z.B. 1,2,3 oder besser x1,x2,x3?   ─   anonym3630b 21.06.2022 um 09:38

Nein, du musst 3 beliebige Elemente aus \(R\) wählen. Das sind alles Funktionen von X in die reellen Zahlen. Etwa so: Seien \(f_1,f_2,f_3 \in R\), dann ist \(((f_1+f_2)+f_3)(x)=\ldots =(f_1+(f_2+f_3))(x)\) für alle \(x \in X\), also \((f_1+f_2)+f_3=f_1+(f_2+f_3)\)   ─   mathejean 21.06.2022 um 10:17

Also so wie ich’s oben gemacht habe? Stimmt das so?
Und wie mach ich das jetzt mit dem nullelement? Einfach f1+0=f1 das wars?
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 23 Stunden

Nein, du musst die Gleicheit noch begründen. Ich mache es mal für das Kommutativgesetz (weniger Schreibarbeit :D) vor, weil es tatsächlich ehr technisch ist: \((f_1+f_2)(x )=f_1(x)+f_2(x)=f_2(x)+f_1(x)=(f_1+f_2)(x)\) für alle \(x \in X\). Daraus folgt \(f_1+f_2=f_2+f_1\). Für das Nullement musst du erstmal überlegen, was die Null ist. Hier ist es die Nullfunktion, also \(f(x)=0 \forall x\in X\)   ─   mathejean vor 6 Tagen, 23 Stunden

Warum ist es die Nullfunktion? Und wie schreibe ich es dann auf? Weil da habe ich ja f1(x) und f2(x)=0   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 23 Stunden

Wenn du es ausrechnest, siehst du ja warum es die Nullfunktion ist. Du kannst hierfür auch 0 schreiben und dann ist \(0(x)=0\) für alle \(x \in X\). Es ist halt nur Overloading, irgendwann macht man das aber automatisch   ─   mathejean vor 6 Tagen, 22 Stunden

Ich weiß eben nicht wie ich die „=0“ in die Gleichung miteinbeziehe?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 22 Stunden

Wie mache ich das denn bei dem Nullelement?
Und was ist g(x) ?
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 21 Stunden

Benötige bitte schnell Hilfe   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 19 Stunden

$g(x)$ ist einfach ein zweites Element aus dem Ring. Du hast hier $f_1$ und $f_2$ genommen. Das ist aber egal, wie man diese Elemente nennt.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 18 Stunden

Also könnte ich auch für f1,f2 und f3 einfach f, g, und h nehmen?

Und wie sieht nun die Gleichung zu dem Nullelement aus weil ich habe da ja f(x) und g(x) =0?
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 18 Stunden

Genau. Was musst du denn für das Nullelement zeigen? Oben wurde ja schon erklärt, was das Nullelement in diesem Ring ist.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 18 Stunden

Kann ich da einfach schreiben g(x) =0
f(x)+g(x)=f(x)+0=f(x) oder wie schreibt man das auf?
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 18 Stunden

Ja, bedenke aber, dass das Nullelement die Nullfunktion ist, das heißt $g(x)=0$ für alle $x\in\mathbb{R}$ und nicht die Zahl 0. Und weil $\mathbb{R}$ ein Ring ist, gilt natürlich $f(x)+g(x)=f(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$. Sowas muss dabei stehen. Du musst ja hier eben ausnutzen, dass die reellen Zahlen einen Ring bilden.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 18 Stunden

Und wie zeige ich dann das R ein Ring ist weil die reellen Zahlen ein Ring sind? Das ist ja die Aufgabe und ich weise ja jetzt nur nach das R ein Ring ist unabhängig davon dass die reellen Zahlen ein Ring sind   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 18 Stunden

Also schreibe ich auch bei dem kommutativgesetz dass es für alle
x∈ der reellen Zahlen gilt und deshalb darf ich die Regeln anwenden oder?
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 17 Stunden

Genau, weil $f(x)$ für alle $x$ eine reelle Zahl ist, darfst du die Regeln nur anwenden. Ansonsten wäre völlig unklar, ob die Regeln gelten.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 17 Stunden

Siehe oben: stimmt das erstmal so für das Assoziativgesetz? Und muss ich nirgends schreiben x∈X weil R definiert ist als Funktion f:{X-> reellen Zahlen}?
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 17 Stunden

Und warum darf bei g(x)=0 x nicht 0 sein?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 17 Stunden

Stimmt das so siehe oben   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 17 Stunden

Und warum ist R nur ein Körper wenn X nur ein Element besitzt das macht doch gar keinen Sinn weil ein Körper doch mindestens 2 Elemente besitzen muss die 0 und die 1 ?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 16 Stunden

Da steht auch nicht, dass R nur ein Element besitzen darf, sondern X. Verstehst Du den Satz sprachlich überhaupt?   ─   mikn vor 6 Tagen, 16 Stunden

Naja X wird doch auf die reellen Zahlen abgebildet also X ist der Definitionsbereich und die reellen Zahlen der Wertebereich   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 16 Stunden

Und stimmt das bisher wie ich das oben gemacht habe?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 16 Stunden

"Naja...." : Das beantwortet nicht meine Frage. R ist eben nicht X, das musst Du erstmal verstehen. In Deinen sonstigen Überlegungen bin ich nicht drin, das können die beiden anderen Helfer leichter beurteilen.   ─   mikn vor 6 Tagen, 16 Stunden

Kannst du’s mir dann erklären?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 16 Stunden

Was denn erklären? Oberste Regel in jedem Forum: Konkrete Fragen stellen. Nochmal meine Frage: Verstehst Du obigen Satz?   ─   mikn vor 6 Tagen, 16 Stunden

Das was du bis jetzt hast ist soweit in Ordnung, du schreibst aber \(f(x)\in R\) und das ist leider falsch, es ist \(f\in R\) und \(f(x)\in \mathbb {R}\)

Zum Körper: überlege dir mal, was \(R\) mit dem Produkt von \(\mathbb{R}\) zu tuhen hat. Das Produkt hast du ja schon in anderer Aufgabe studiert.
  ─   mathejean vor 6 Tagen, 15 Stunden

Nein so wirklich verstehe ich den Satz nicht…   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 15 Stunden

Muss ich sowohl f∈R und f (x)∈Reelle zahlen schreiben oder reicht das zweite von beiden?
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 15 Stunden

Du merkst schon, dass hier zwei R im Spiel sind, die verschiedene Objekte sind: R ist der Ring, und $\mathbb{R}$ sind die reellen Zahlen. f(x) ist ein Funktionswert, hier also eine reelle Zahl, f ist eine Funktion. Unterscheide die Objekte präzise in jeder noch so kleinen Überlegung.   ─   mikn vor 6 Tagen, 15 Stunden

Aber warum ich für X nur ein Element nehmen darf verstehe ich nicht…
Ich verstehe den Satz gar nicht
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 15 Stunden

@mathejean das Produkt von Reellen zahlen ist ein Ring da die reellen Zahlen ein Körper sind und damit auch ein ring   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 15 Stunden

Muss ich wenn ich schreibe f(x) ∈Reelle zahlen für alle x∈Reelle zahlen oder für alle x ∈X schreiben?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 15 Stunden

Dass R nur ein Körper ist, wenn X einelementig ist, damit beschäftigt man sich als letztes in der Aufgabe. Nachdem alles andere geklärt ist. Mir geht es darum, dass Du verstehst, dass da NICHT steht, dass R einelementig sein muss.
Nebenbei: Die Schreibweise $R:=\{f:X\longrightarrow \mathbb{R}\}$ in der Aufgabe ist falsch und solltest Du Dir erst gar nicht angewöhnen.
  ─   mikn vor 6 Tagen, 15 Stunden

Und genau das verstehe ich eben leider nicht   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 15 Stunden

Es ist eben das Produkt von zwei Körpern \(K\) kein Körper. Betrachte beispielsweise \((1,0)\in K \times K\), hier gibt es kein Inverses. Weißt du den was der Zusammenhang von \(R\) und einem Produkt von \(\mathbb{R}\) ist   ─   mathejean vor 6 Tagen, 14 Stunden

@mathejean Nein was ist denn der Zusammenhang von R und einem Produkt von den reellen Zahlen?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 14 Stunden

@mikn wieso ist die Schreibweise der definierten Funktion f falsch die war doch so schon in der Aufgabe vorgegeben?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 14 Stunden

Kümmer Dich mal um ein Problem nach dem anderen, nicht um mehrere gleichzeitig. Lies außerdem richtig: Ich hab ja klar gemacht, dass ich die Aufgabe gelesen habe.   ─   mikn vor 6 Tagen, 14 Stunden

Siehe oben: fehlt beim Nachweis der ersten 3 ringaxiome nicht noch was zu R? Ich habe ja nur die reellen Zahlen benutzt?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 14 Stunden

Bitte um Hilfe   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 12 Stunden

Siehe oben: Ich habe jetzt die ganzen ringaxiome bewiesen und damit den ersten Teil der Aufgabe erledigt...stimmt das so?
Und wie beweise ich jetzt noch dass die reellen Zahlen ein Körper sind und R nur wenn X nur ein Element enthält?
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 11 Stunden

Ich überlasse das jetzt mathejean zu kommentieren, mit ihm hast Du angefangen. Ich selbst würde es nur akzeptieren, wenn ganz klar mit Funktionen gearbeitet würde, also f, g, usw. im Unterschied zu Funktionswerten f(x), g(x) usw. Siehe meinen Kommentar zu den Objekten oben.
Zum letzten Punkt: Das ist sicher nicht so gemeint, dass Du zeigen sollst, dass $\mathbb{R}$ ein Körper ist (und wenn, sollte das - wenn Du das bisherige verstanden hast - lächerlich einfach sein, im wesentlichen Schreibarbeit).
  ─   mikn vor 6 Tagen, 11 Stunden

Ok dann warte ich mal was mathejean schreibt
Aber den zweiten Teil mit dem Körper muss man doch irgendwie auch zeigen
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 11 Stunden

@mathejean kannst du mal bitte schauen ob das so richtig ist wie ich das oben gemacht habe oder ob noch etwas fehlt damit ich gezeigt habe das R ein Ring ist
Und wie zeige ich das zweite das R und reellen Zahlen ein Körper sind?
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 1 Stunde

Wie ich sehe hast du einfach aus jedem \(R\) ein \(\mathbb{R}\) gemacht, dazu ist aber nichts mehr zu schreiben, da haben wir schon genug zu gemacht. Vielleicht fragst du deinen Tutor einmal was da los ist, mündlich ist erklären leichter. Jetzt aber weiter:

Überall wo du schreibst \(x \in \mathbb{R}\) brauchen wir \(x \in X\)

(A1) ist falsch: hier verwendest du direkt die Aussage, die du zeigen sollst und nutzt nirgendswo die reellen Zahlen
(A4) streng genommen sollte man auch \(-f\) definieren
(M1) selber Fehler wie in (A1)
(D) hier benutzt du auch die Aussage die du zeigen sollst

Ich glaube Problem ist, dass du nicht unterscheidest mit welche Objekte du genau arbeitest. Wenn es leichter ist schreibe für die Addition und Multiplikation die gehasste Schreibweise \(+_R,\cdot_R\).
  ─   mathejean vor 6 Tagen, 1 Stunde

Kannst du mir dann nichtmal ein Beispiel schreibe was komplett richtig ist zum Beispiel für A1) damit ich mich dann daran orientieren kann?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 1 Stunde

Kannst du mal bitte A1) so berichtigen dass es stimmt auch mit R und den reellen Zahlen dann kann ich das auch besser nachvollziehen wenn ich das einmal komplett richtig sehe und kann das vllt auf die anderen axiome übertragen   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 1 Stunde

Ja, das ist sehr technisch und da du dir wirklich viel Mühe gibst mache ich das, ich sehe ja das du das auf andere Sachen gut übertragen kannst. Seien \(f,g,h\in R\), dann gilt für alle \(x \in X\): $$((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x)$$Hieraus folgt \((f+g)+h=f+(g+h)\)   ─   mathejean vor 6 Tagen, 1 Stunde

Ok dankeschön dann probiere ich das jetzt nochmal auf die anderen so abzuwenden   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 1 Stunde

Und muss man da noch irgendwo was von den reellen Zahlen reinschreiben? Weil das nutze ich ja aus um die assoziativität zu benutzen   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 1 Stunde

Ja: \((f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))\) ist Assoziativgesetz der reellen Zahlen   ─   mathejean vor 6 Tagen, 1 Stunde

Ja das habe ich verstanden aber meine Fragen war ob ich noch irgendwie reinschreiben muss f(x),g(x), h(x) Element reellen Zahlen weil das wende ich ja an   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 1 Stunde

Das könntest du unter dieses eine Gleichheitszeichen schreiben   ─   mathejean vor 6 Tagen, 1 Stunde

Alles klar danke, ich versuch’s nochmal und schicke meine Lösungen nochmal rein   ─   anonym3630b vor 6 Tagen, 1 Stunde

Bei dem Nullelement schreib ich jetzt sei f ∈R ^ g=0 ∈R für alle x ∈X?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen

Für das Nullement schreibst du, sei \(g \in R\) mit \(g(x)=0\) für alle \(x\in X\)   ─   mathejean vor 6 Tagen

Super danke und wie definiere ich -f bei der Existenz inverser Elemente?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen

Schreibe am besten: Sei \(f \in R\), definiere \(-f\in R\) durch \((-f)(x)=-f(x)\) für alle \(x \in X\)   ─   mathejean vor 6 Tagen

Danke!
Und bei dem einselement schreib ich das genauso wie bei dem Nullelement nur eben statt der 0 eine 1? Also g(x)=1
  ─   anonym3630b vor 6 Tagen

Siehe oben: stimmt das jetzt so? Bei dem distributivgesetz bin ich mir nicht sicher ob da noch ein Zwischenschritt mit rein muss   ─   anonym3630b vor 6 Tagen

Und wie zeige ich jetzt den 2. Teil der Aufgabe?   ─   anonym3630b vor 6 Tagen

Bräuchte dringend Hilfe, hab nicht mehr viel Zeit   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 23 Stunden

Ja, alles bis auf das Distributivgesetz ist richtig, sehr gut! Du musst aufpassen, dass du das Distributivgesetz erst in den reellen Zahlen verwendest, also erst sobald dort \(f(x),g(x),h(x)\) überall stehen   ─   mathejean vor 5 Tagen, 23 Stunden

Also so? Siehe oben   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 23 Stunden

Nein, du verwendest direkt nach dem ersten Gleichheitszeichen, das was du zeigen willst   ─   mathejean vor 5 Tagen, 23 Stunden

Ja, jetzt hast du es fast gelöst, du musst jetzt nur noch an der Gleichung weitermachen, bis dort \((fh+gh)(x)\) steht (sehr leicht)   ─   mathejean vor 5 Tagen, 23 Stunden

So? Und bei welchem Gleichheitszeichen habe ich nur das distributivgesetz an gewendet?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 23 Stunden

Mein Kommentar bezogen sich auf dem Stand von vor dem Edit. So wie es jetzt ist ist es richtig, sehr gut!   ─   mathejean vor 5 Tagen, 22 Stunden

Ok super und wie beweise ich jetzt noch die zweite Aussage mit den Körpern?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 22 Stunden

Wenn \(X\) nur ein Element hat, ist es klar, dass \(R\) ein Körper ist, dieser ist isomorph/gleich zu \(\mathbb{R}\). Angenommen \(X\) hat mehr als ein Element. Lass uns dann zwei verschieden Elemente \(a,b\in X\) wählen. Betrachte dann \(f \in R\) mit \(f(a)=1\) und \(f(b)=0\), dann ist \(f\not =0\), aber...   ─   mathejean vor 5 Tagen, 22 Stunden

Ich verstehe nicht ganz warum es klar ist dass wenn X nur ein Element hat ein Körper ist…
Ein Körper hat ja immer mindestens 2 Elemente
  ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 22 Stunden

Wenn f(a)=1 und f(b)=0 wie kommt man dann darauf dass f ungleich 0 ist?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 22 Stunden

X ist ja nicht unser Körper, sondern \(R\). Ist \(X=\{a\}\), so können wir \(R\) mit \(\mathbb{R}\) identifizieren über \(f \mapsto f(a)\) bzw \(x \mapsto [a \mapsto x]\)   ─   mathejean vor 5 Tagen, 22 Stunden

Weil \(f(a)=1\) ist \(f\) nicht die Nullfunktion, also müsste \(f\) eine Einheit sein, wenn \(R\) ein Körper ist.   ─   mathejean vor 5 Tagen, 22 Stunden

Ok und was muss ich da jetzt machen?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 22 Stunden

Zeige, dass \(f\) keine Einheit ist   ─   mathejean vor 5 Tagen, 22 Stunden

Und wie zeige ich das? Bzw was bringt mir das?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 22 Stunden

In einem Körper ist jedes Element außer 0 eine Einheit. Wir haben hier gerade ein Element gefunden das aber nicht 0 ist und keine Einheit   ─   mathejean vor 5 Tagen, 22 Stunden

Ja das in einem Körper jedes Element außer 0 eine einheit ist weiß ich aber welches Element haben wir gefunden das in R keine einheit ist?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 22 Stunden

Warum ist wenn X nur ein Element hat R gleich zu den reellen Zahlen?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Wenn X nur ein Element hat, dann wurden reelle Zahlen nur umbenannt. Das sagen die beiden Abbildungen dichn8ch geschrieben habe. Es ist \(f\) mit \(f(a)=1\) und \(f(b)=0\) keine Einheit   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Kannst du mir sagen wie ich das jetzt am besten aufschreibe?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Aber die reellen Zahlen haben doch nicht nur ein Element ich verstehe nicht so richtig was bedeutet f wird auf f(a abgebildet und x wird auf [x->a] abgebildet gemeint ist   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Seien \(a,b \in X\) verschieden und \(f \in R\) mit \(f(a)=1\) und \(f(b)=0\). Angenommen ess existiert \(g\) mit \(fg=1\), dann wäre \(f(b)g(b)=0g(b)=1\). Das ist Widerspruch, also ist \(f\) keine Einheit. Weil \(f\not =0\), wegen \(f(a)=1\), ist also nicht jedes Element ungleich 0 eine Einheit   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Und damit habe ich jetzt gezeigt dass X nur ein Element besitzen kann?
Wars das schon?
  ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Damit hast du gezeigt, das es für mehr als ein Element kein Körper ist. Das es für ein Element ein Körper ist liefert das andere Argument   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Und kannst du mir bitte noch erklären warum R mit nur einem Element in X gleich der reellen Zahlen ist? Mit einfachen Worten bitte weil das das so ist weil f auf a abgebildet wird versteh ich nicht   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Aber dann ist R doch auch nur einen Einheit wenn X nicht das Element 0 ist weil zu 0 gibt es ja kein inverses so das 1 rauskommt ?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Lass uns auf \(R\) algebraische Struktur vergessen und \(R\) als Menge behandeln. Hat nun \(X\) nur ein Element \(a\) so ist \(R=\{a \mapsto f(a) \in \mathbb{R}\}\). Linke Seite immer gleich und rechts gehen alle reellen Zahlen durch   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Und wo benötige ich das f(a) =1 in der Gleichung f*g=1?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Das brauchen wir nur um zu sagen, dass es nicht Nullfunktion ist, wir können auch \(f(a)=42\) setzen   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Ich verstehs leider echt nicht mit dem einen Element…weil wenn ich die zwei Elemente f(a)=1 und f(b)= 2 nehmen würde wäre doch beides einen Einheit weil es zu beiden ein Multiplikativ inverses gibt   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Weil b die nullfunktion ist oder wieso? Und warum darf nicht beides die gleiche Funktion sein?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Genau, \(f \in R\) mit \(f(a)=1\) und \(f(b)=2\) ist eine Einheit, aber nicht das andere!   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

b ist Element von X!   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Ja aber warum darf X dann nur ein Element haben? Das wird mir daraus nicht ersichtlich   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Weil wir für mehr als ein Element von 0 verschiedene Elementen haben, die keine Einheit sind   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Ja a und b ist Element von X aber warum dürfen die nicht die gleiche Zahl haben und nicht die gleiche Funktion ?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Hast du für deine Aussage mal ein einfaches Beispiel was zeigt dass man für mehr als ein Element von 0 verschiedene Elemente hat die keine Einheit sind?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

\(f(a)=1\) und \(f(b)=0\) ist doch schon ein Beispiel, einfachere Beispiele gibt es nicht   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Aber wenn ich nur das Element f(b)= 0 habe ist es doch auch keine einheit und ich hätte nur ein element   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Jedes \(f \in R\) mit \(f(b)=0\) ist keine Einheit. Um zu zeigen, dass es aber kein Körper ist,darf \(f\) nicht die Nullfunktion sein, deshalb setzen wir \(f(a)=1\)   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Warum darf bei einem Körper f nicht die nullfunktion sein aber bei f(a)=1 ist f doch eine Einheit weil es ein multiplikativ inverses gibt
Wo ist mein Denkfehler?
  ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Wir suchen ein \(f\), dass nicht die Nullfunktion ist und keine Einheit ist. Ist nun \(f\in R\) mit \(f(a)=1\) und \(f(b)=0\), so ist zwar \(f(a)\) invertierbar, aber nicht \(f\) selber. Das liegt an der Definition der Multiplikation auf \(R\) und daran, dass \(f(b)\) nicht invertierbar ist   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Aber du sagst wir sollen keine nullfunktion nehmen aber warum nehmen wir dann f(b) als nullfunktion?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

f(b) ist keine Funktion sondern eine reelle Zahl!   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Und woher weiß ich das? Bzw das steht doch nirgends ?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 21 Stunden

Naja f ist eine Funktion in die reellen Zahlen, also ist f(x) für alle x aus X eine reelle Zahl   ─   mathejean vor 5 Tagen, 21 Stunden

Naja aber f(a) sind doch dann auch keine Funktion sondern eine reelle zahle aber f(b)=0 ist doch die nullfunktion oder nicht?   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 20 Stunden

Es ist \(f(a),f(b) \in \mathbb{R}\) und es ist \(f(b)=0\in \mathbb{R}\)   ─   mathejean vor 5 Tagen, 19 Stunden

Du hast doch gesagt man wählt für f(a)=1 damit das keine nullfunktion ist aber wenn man f(b)=0 setzt ist das doch die nullfunktion verstehe ich nicht   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 19 Stunden

@mathejean Chapeau zu Deiner Geduld. Ist nicht einfach immer wieder, so oft, das gleiche sagen zu müssen   ─   mikn vor 5 Tagen, 19 Stunden

Da stimme ich zu. Hier fehlt ja irgendwie fast alles Grundlegende. Da hätte ich nicht die Geduld zu...

Bei einer Nullfunktion gilt $f(x)=0$ für alle $x$. Wenn du also $f(a)=1$ und $f(b)=0$ hast, kann das logischerweise nicht die Nullfunktion sein...
  ─   cauchy vor 5 Tagen, 19 Stunden

Ah ok jetzt hab ich’s verstanden alles klar danke !
Aber das mit dem einem Element in X hab ich leider noch nicht verstanden
  ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 19 Stunden

Der Unterschied zwischen Funktion f und Funktionswert f(x) ist halt nicht klar. Haben nun 3 Helfer, einer davon etliche male schon, erklärt. Ob's was nützt?   ─   mikn vor 5 Tagen, 19 Stunden

Naja ein Funktionswert ist eben ein Wert einer Funktion und auf einer Funktion liegen unendlich viele funktionswerte   ─   anonym3630b vor 5 Tagen, 19 Stunden

Was ist die kurze Begründung dafür dass R ein Ring ist weil die reellen Zahlen ein Ring sind ohne das an den axiomen nachzuweisen? Weil wir das nur kurz Begründen sollen und nicht an den einzelnen axiomen nachweisen?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 17 Stunden

\(R\) ist isomorph zum Produkt \(\mathbb{R}^X\)   ─   mathejean vor 4 Tagen, 16 Stunden

Was bedeutet reelle Zahlen hoch x?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 15 Stunden

Das Produkt von Ringen aus deiner anderen Frage, kann man für jede Indexmenge \(X\) bilden: \(\Pi_{i\in X}S_i\), wobei \(S_i\) für alle \(ist \in X\) ein Ring ist. Hier sind alle \(S_i=\mathbb{R}\) und man schreibt dann \(\mathbb{R}^X\)   ─   mathejean vor 4 Tagen, 15 Stunden

Das bedeutet das man für das X alle Zahlen einsetzen kann?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 14 Stunden

X ist eine Indexmenge, wenn X die reellen Zahlen sind, dann gibt es zu jeder reellen Zahl eine Kopie der reellen Zahlen im Produkt   ─   mathejean vor 4 Tagen, 14 Stunden

Und diese kopie ist sozusagen das R?   ─   anonym3630b vor 4 Tagen, 10 Stunden

\(R\) ist das Produkt von Kopien von \(\mathbb{R}\) indiziert durch \(X\)   ─   mathejean vor 4 Tagen, 2 Stunden

Also gibt x an wieviele Kopien es von den reellen Zahlen gibt und das Produkt aus den Kopien ist dann das R richtig so?   ─   anonym3630b vor 3 Tagen, 21 Stunden

Ganz genau, ist z.B. \(X=\{1,2\}\), so ist \(R=\mathbb{R}^X=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)   ─   mathejean vor 3 Tagen, 21 Stunden

Ok super jetzt hab ich’s verstanden vielen dank☺️   ─   anonym3630b vor 3 Tagen, 18 Stunden

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