Hier gibt es den Trick mit \(x=e^{\ln(x)}\). Zusätzlich benötigt man noch das Logarithmengesetz \(\log(a^r)=r\cdot \log (a)\). Dann kannst du \(2^x\) wie folgt umstellen:

\(2^x=e^{\ln(2^x)}=e^{x\cdot \ln(2)}\)

Nun kannst du mit der Kettenregel für die \(e\)-Funktion einfach ableiten, wobei \(\ln(2)\) als normaler Faktor für die innere Ableitung behandelt wird. Wenn du deine Ableitung ausgerechnet hast (da die äußere Ableitung der \(e\)-Funktion ja wieder sich selbst ergibt), kannst du auch \(e^{x\cdot \ln(2)}\) auch wieder als \(2^x\) schreiben.

Hoffe das hilft dir weiter.

Am besten schreibt man die Funktion erstmal mithilfe von e-Funktion und Logarithmus um

\( f(x) = 2^x = (e^{\ln(2)})^x = e^{\ln(2)x} \)

Wir definieren nun die beiden Funktionen \( g(x)=e^x \) und \( h(x)=\ln(2)x \), die uns im Folgenden helfen werden. Zunächst berechnen wir deren Ableitungen, da wir diese später noch brauchen werden. Es ist \( g^\prime(x)=e^x \) und \( h^\prime(x)=\ln(2) \).

Wir haben oben gesehen, dass \( f(x) = e^{\ln(2)x} \) ist. Mithilfe von \(g\) und \(h\) lässt sich \(f\) nun als Verkettung schreiben

\( f(x) = g(h(x)) \)

Dies kann man nach der Kettenregel ableiten

\( f^\prime(x) = h^\prime(x) \cdot g^\prime(h(x)) = \ln(2) \cdot e^{\ln(2)x} = \ln(2) \cdot (e^{\ln(2)})^x = \ln(2) \cdot 2^x \)

Und das war es auch schon. Die Ableitung von \( f(x)=2^x \) ist \( f^\prime(x)=\ln(2) \cdot 2^x \).