Wie löse ich eine DGL mithilfe der Variation von Konstanten?

Erste Frage Aufrufe: 50     Aktiv: 26.05.2021 um 14:26

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Folgende DGL ist gegeben: xy'+y=x*sin(x)
Löse die DGL 1.Ordnung durch Variation der Konstanten. 
Ich habe versucht den rechten Teil der Gleichung als Störfunktion zu betrachten und gleich Null zu setzten um die Homogene Lösung zu berechnen. Damit kam ich auf y=-x+C. Ob das richtig ist, weiß ich leider nicht und die nächsten Schritte sind mir etwas unschlüssig. Vielen dank im Voraus.
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Hallo,

nein deine homogene Lösung ist so leider nicht korrekt. Zur Probe, kannst du die Lösung immer in die DGL einsetzen. Dann siehst du ja ob es passt oder nicht.

Wenn ich schätzen müsste, denke ich du hast folgenden Fehler gemacht: Durch Trennung der Variablen kommen wir nach der Integration auf den Term
$$ - \ln(y) = \ln(x) + c $$

Hier können wir jetzt nicht einfach alles in die Potenz von \(e\) erheben. Wir müssen zuerst das Minus wegbekommen

$$ -\ln(y) = \ln(y^{-1}) = \ln(x) + c $$

wenn du jetzt alles in den Exponenten von \(e\) packst, folgt

$$ e^{\ln(y^{-1})} = e^{\ln(x) + c} \Rightarrow \frac 1 y = e^{\ln(x)} \cdot e^c \Rightarrow \frac 1 y = x \cdot C $$

Damit erhalten wir die homogene Lösung \( y_h(x) = \frac C x \). 

Liege ich da richtig? Ansonsten lade gerne mal deinen Lösungsweg hoch. Dann gucke ich wo der Fehler liegt.

Wir machen die Probe mit \( y_h'(x) = - \frac C {x^2} \) und erhalten

$$ - \frac C {x^2} \cdot x + \frac C x = 0 $$

passt also.

Nun zur Variation der Konstanten. Wir nehmen unsere DGL

$$ xy' + y = x \sin(x) $$

Nun gehen wir davon aus, dass wir keine konstante Konstante haben, sonder eine variable Konstante (auch wenn es komisch klingt ;)). 

Wir sagen also, dass unsere partielle Lösung die Form

$$ y_p = \frac {C(x)} x $$ 

hat. Diese partielle Lösung musst du nun ableiten. Wie sieht die Ableitung aus? Bedenke, dass \( C(x) \) von \( x \) abhängt. 

Nun setzen \( y_p \) und \( y_p' \) in die DGL ein und bestimme \( C(x) \). 

Die Summe aus homogener und partieller Lösung ist dann deine allgemeine Lösung.

Grüße Christian
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Hallo Christian,
vielen Dank schonmal für deine Mühe und Antwort. Leider kann ich etwas nicht ganz nachvollziehen. Du sagst Yh= 1/x* C. Dies trifft doch nur zu, wenn ich C außen vor lasse oder? Wenn ich C als normale Variable betrachte komme doch auch Yh= 1/(C*x) oder nicht? Die Probe der Homogenen Lösung passt auf jeden fall, aber wann weiß ich, wie ich C behandeln soll?
Grüße Matze
  ─   matze_96 26.05.2021 um 14:18

Was genau meinst du mit außen vor lassen?
Die Konstante \( c \) "entsteht" ja durch die Integration. Durch Umformung erhalten wir den Faktor \( e^c \), welcher ja auch nur einen konstanten Wert beschreibt. Wir können also eine neue Konstante einführen \( C = e^c \) (vielleicht verwirrt hier, dass ich einmal ein kleines und einmal ein großes c gewählt habe).

Du betrachtest auch \( C \) nicht als Variable, sondern als eine Funktion in Abhängigkeit der gegebenen Variablen (\(C(x)\))
  ─   christian_strack 26.05.2021 um 14:24

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