Hallo zusammen, wie kann man folgendes Gleichungssystem lösen? (Erläuterung: Es soll ein Spline modelliert werden, der aus drei kubischen Polynomstücken zusammengesetzt wird)

Aufrufe: 720     Aktiv: 08.10.2020 um 16:18
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Die ganze Funktion soll durch folgende Abschnitte zusammengesetzt werden:

(gl --> pl --> pm --> pr --> gr) Erläuterung: l=links vom Koordinatensystem, r = rechts

pl(x) = -1 + a(x+L)^3    (für -L < = x < -sL)    (pl startet an einer Gerade gl im Punkt L = -1)

pr(x) = 1 + a(x-L)^3      (für sL <= x < L)       (pr endet an einer Gerade gr im Punkt L = 1)

pm(x) = bx^3 +cx         (für -sL <= x < sL)    (pm verbindet pl(x) und pr(x) zwischen -sL und +sL)

Folgende Bedingungen sollen gelten:

1. pm (sL) = pr (sL)     dabei gilt:  sl gleich L/2

2. pm`(sL) = pr`(sL)   jeweils erste Ableitung 

3. pm``(sL) = pr``(sL)  jeweils zweite Ableitung

Die Bedingungen sind klar. Aber wie kommt man mit diesen Bedingungen zu folgender Lösung (mit linearem Gleichungssystem)?

a = 1 / (L^3 (1-s) (1+s))

b = -1 / (L^3s (1+s))

c = 3 / L (1+s)

Ich hoffe das war verständlich, leider kann man den Graphen nicht darstellen. Vielen Dank

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Es sind drei Gleichungen (Deine 1., 2., 3.) und Du hast drei Unbekannte a, b, c. Die drei Gleichungen sind mit Hilfe der drüber stehenden Ansätze aufzustellen. Ich mache mal die erste für Dich.

Angaben einsetzen in pm bzw. pr ergibt: \(\frac{L^3}8\,b + \frac{L}2\, c=1-\frac{L^3}8\,a\).

Schaffst Du die anderen beiden alleine? Dann das LGS in Matrix-Form aufstellen. Dann schaut man mal, ob man irgendeine Struktur erkennt die eine Abkürzung ermöglicht. Sonst Gauß-Algorithmus. Fang mal an und melde Dich, wenn's irgendwo hakt.

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Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Ok, das ist korrekt.
Meine Zwischenergebnisse lauten: I. pm (L/2) = pr (L/2) --> (L^3/8)b + (L/2)c = 1 - (L^3/8)a
II. pm (L/2)´ = pr (L/2) ´ --> (3aL^2)/4 = (3bL^2)/4 + c
III. pm (L/2)´´ = pr (L/2) ´´ --> -3aL = 3bL
Aber beim Versuch, mit diesen Werten das Gauß-Algorithmus-Verfahren anzuwenden, komme ich nicht auf die o.g. Musterlösung...?!
Danke für eure Zeit und Hilfe!   ─   jgu 05.10.2020 um 19:28
Das System ist richtig. Aber wie genau muss man dann weiterrechnen?   ─   jgu 06.10.2020 um 10:40
Ich bekomme nur für L=2 raus, aber a, b und c...??   ─   jgu 06.10.2020 um 12:18
Irgendwo hakt es noch bei mir. Das o.g. System habe ich als Vorlage genommen, Zeile 2 - Zeile 3 und Zeile 3- Zeile 1 nach dem Stufenverfahren aufgelöst. Dann bekomme ich c = 2 / L heraus. Aber wenn man damit weiterrechnet passt es nicht. Liegt hier der Fehler?   ─   jgu 06.10.2020 um 16:02
Auch mit C=2/L komme ich nicht auf die Ergebnisse. Gibt es noch eine andere Lösungsmöglichkeit?   ─   jgu 08.10.2020 um 15:04
Folgendes System habe ich als Basis genommen:
1 1 4/L^2 = 8/L^3 1 1 4/L^2 = 8/L^3
1 -1 -4/3L^2 = 0 (-Zeile III) ---> 0 -2 -4/3L^2 = 0
1 1 0 = 0 (-Zeile I) ---> 0 0 -4/L^2 = -8/L^3 ---> c = 2/L

Wenn man dann mit c = 2/L weiterrechnet, also in Zeile II einsetzt: -2b - (4/3L^2)*(2/L) = 0
erhalte ich: b = -4/(3L^3), und mit dem Wert in Zeile I für a = 4/(3L^3)

Aber diese Werte sind mit der Musterlösung total verschieden..??
Wenn ich die in die erste Bedingung einsetze pm (L/2) = pr (L/2), dann wäre das so:
-(4/(3L^3))*x^3+(2/L)*x = 1+(4/(3L^3))*(x-L)^3
Das geht aber auch nicht auf...   ─   jgu 08.10.2020 um 15:57
Hast Recht, ist so. Jezt habe ich es...;)
Vielen Dank für die HIlfe!! LG   ─   jgu 08.10.2020 um 16:18

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