Folge Konvergenz Beweisen/Grenzwert

Aufrufe: 220     Aktiv: 04.05.2022 um 21:41

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hallo

Die Folge ist rekursiv gegeben mit xn+1= sqrt(1+xn) mit n>= 1 und x1= 2

Es soll bewiesen werden, dass die Folge konvergiert und der Grenzwert berechnet werden. 

Mir scheint es so, als ob die Folge gegen 1 konvergiert, da der xn Teil mit jeder Iteration ja quasi immer mehr gegen 0 läuft und damit nur noch Wurzel 1 übrig bleibt, also 1. Ist dies richtig? Und wenn ja, wie schreib ich das am besten als korrekten Beweis auf?


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1 Antwort
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Moin,
bei rekursiv definierten Folgen ist es oft sinnvoll, mit der folgenden Definition der Konvergenz zu arbeiten: Wenn die Folge beschränkt und monoton wachsend ist, konvergiert sie. Monotonie und Beschränktheit kann man z.B. per Induktion zeigen, man muss sich dann nur eine geeignete Schranke auswählen. 
Zum Grenzwert: \(\lim\limits_{n \to \infty}x_n=\lim\limits_{n \to \infty}x_{n+1}\). Das kannst du in die Definition einsetzen und auflösen.
LG
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Student, Punkte: 2.2K

 

Danke. Gibts auch eine einfachere Möglichkeit als per Induktion?   ─   mathefragen1234 03.05.2022 um 17:44

Wenn du sagst, sie konvergiert gegen 1 und wir sagen sie ist monoton fallend, dann reicht es nach unten beschränkt. Da ist hier aber nichts zu zeigen, da die Wurzel immer positiv   ─   mathejean 03.05.2022 um 18:45

Also gehts nur mit Induktion (am besten)?   ─   mathefragen1234 03.05.2022 um 19:10

Nein, wir argumentieren ja, dass die Folge monoton fallend ist, daher interessieren wir uns nur für eine untere Schranke. Es ist klar, dass \(x_1=2\geq 0\) und nach Definition der Wurzel ist \(x_{n+1}=\sqrt{\ldots}\geq 0\).
Würden wir argumentieren, dass sie monoton steigt, dann bräuchten wir Induktion
  ─   mathejean 03.05.2022 um 20:01

Für die Monotonie muss man doch trotzdem noch Induktion verwenden, oder nicht?   ─   fix 03.05.2022 um 20:20

Ich versteh die Argumentation noch nicht ganz: wir sagen 2 ist die gegebene untere Grenze >=0 und die Wurzel ist immer >= 0. Warum genau beweist das jetzt die konvergenz   ─   mathefragen1234 03.05.2022 um 20:42

Zeig, dass die Folge monoton fällt und beschränkt ist (Monotoniekriterium).   ─   cauchy 03.05.2022 um 20:48

Wie zeig ich monoton fallend? Mit xn+1 <= xn? Und wenn ja, wie bestimm ich an? Is das sqrt(1+xn-1)? Muss ich das dann nach: xn+1/xn <=1 umformen?

Und beschränktheit?
  ─   mathefragen1234 03.05.2022 um 20:52

Du hast doch deine Folge gegeben. Warum fängst du denn jetzt mit $a_n$ an? Beschränktheit findest du bereits in den Kommentaren.   ─   cauchy 03.05.2022 um 20:57

Beschränktheit hat @mathejean schon erklärt: die Wurzelfunktion ist nichtnegativ und damit durch 0 nach unten beschränkt. Für die Monotonie würde ich immer noch Induktion verwenden: \(x_1=2\), \(x_2=\sqrt{3} >2\). Dann mit \(n \to n+1\) und Induktionsvorraussetzung verwenden.   ─   fix 03.05.2022 um 20:58

Wie ist das gemeint? Soll ich zeigen, dass xn+2<= xn+1 ist?   ─   mathefragen1234 03.05.2022 um 20:59

Zur Induktion: ist x2 also xn-1? Also zeigt man an <= xn-1 und daraus folgt ja dann bei der Wurzel von der Monotoniedefinition, dass das stimmen muss?   ─   mathefragen1234 03.05.2022 um 21:10

Ja streng genommen brauchst du Induktion für Monotonie (mach das auch lieber für alle Punkte), aber hier macht die rekursive Folge den Induktionsschritt schon für dich per Definition :D   ─   mathejean 04.05.2022 um 11:23

Danke!   ─   mathefragen1234 04.05.2022 um 21:41

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