Beweis Nullfolge

Aufrufe: 71     Aktiv: 17.05.2021 um 22:04

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Vorweg... Ich bin Fernstudent und gerade ziemlich erschlagen durch das Tempo, das einem vorgegeben wird... :-( 

Ich habe Ansätze gemacht, bei denen ich überhaupt nicht weiterkomme. 

Wenn ich voraussetze, dass die Folge < 1 sein muss (q), muss ich sagen, dass a n > a n+1, und damit würde sie gegen 0 konvergieren. 

Das ist nicht besonders viel - ist der Gedanke tragfähig, und welche Rolle spielen die anderen Voraussetzungen (ich hatte auch mit dem Epsilon-Kriterium etwas versucht, bin aber nicht weitergekommen)?

Danke schon einmal für hilfreiche Kommentare! 

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Nur die Bedingung \(a_{n+1}<a_n\) genügt nicht, um die Konvergenz gegen \(0\) sicherzustellen, es ist wichtig, dass es ein \(q<1\) gibt.
Zuerst informal: Sei \(n\) groß. Die Ungleichung \(|a_{n+1}|<q|a_n|\) zu betrachten, ist schonmal ein guter Ansatz. Jetzt gilt ja diese Aussage für alle natürlichen Zahlen \(>N\), also auch für \(n-1\), d.h. \(|a_n|<q|a_{n-1}|\). Ersetzen wir jetzt in der ersten Ungleichung das \(|a_n|\) damit erhalten wir \(|a_{n+1}|<q|a_n|<q^2|a_{n-1}|\). Jetzt solltest du erkennen, dass wir immer so weitermachen können: \(|a_{n+1}|<q|a_n|<q^2|a_{n-1}|<q^3|a_{n-2}|<q^4|a_{n-3}|<\ldots\) Das können wir bis zu \(|a_N|\) machen, denn nur bis dahin gilt die Ungleichung lt. Aufgabenstellung. Also erhalten wir eine Ungleichung der Form \(|a_n|\leq q^{n-N}|a_N|\) und für festes \(N\) und wachsendes \(n\) wird das beliebig klein.

Das ist der Ansatz, auf den man mit ein bisschen Übung schnell kommt. Nun muss man das für einen sauberen Beweis formaler aufschreiben. Am besten beweist du mit vollständiger Induktion, dass \(|a_n|<q^{n-N}|a_N|\) für alle \(n>N\) gilt. Wende dann den Limes für \(n\to\infty\) auf beide Seiten der Ungleichung an, du erhälst \(\lim_{n\to\infty}|a_n|\leq q^{-N}|a_N|\lim_{n\to\infty}q^n\). Da \(0<q<1\), konvergiert \(q^n\) gegen \(0\), das weißt du wahrscheinlich. Also konvergiert auch \(|a_n|\) gegen \(0\) ("\(\leq\)" hast du gerade gezeigt, und "\(\geq\)" ist klar, da Beträge nichtnegativ sind). Jetzt musst du dir nur noch Überlegen, warum daraus folgt, dass \(a_n\) gegen \(0\) konvergiert.
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Danke! Ich konnte deinen Erklärungen soweit folgen... Aber eine Frage: Wie kommt man darauf, auf q2, q3, q4... zu schließen? Du sagst richtig "mit ein bisschen Übung..." und genau die habe ich noch nicht... (Wo finde ich die Befehle für Symbole, Exponenten etc.?)   ─   renkoeln 17.05.2021 um 21:41

Ein Ziel könnte sein, zu versuchen, eines der beiden \(n\) in \(|a_{n+1}|\leq q|a_n|\) loszuwerden. Ein anderer recht logischer Ansatz wäre zu denken: Wenn ich die Abschätzung einmal machen kann, warum nicht wiederholt?
Für die mathematischen Symbole siehe am Ende der Seite den Link "Hinweis: So gibst du Formeln ein".
  ─   stal 17.05.2021 um 22:00

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