Nur die Bedingung \(a_{n+1}<a_n\) genügt nicht, um die Konvergenz gegen \(0\) sicherzustellen, es ist wichtig, dass es ein \(q<1\) gibt.
Zuerst informal: Sei \(n\) groß. Die Ungleichung \(|a_{n+1}|<q|a_n|\) zu betrachten, ist schonmal ein guter Ansatz. Jetzt gilt ja diese Aussage für alle natürlichen Zahlen \(>N\), also auch für \(n-1\), d.h. \(|a_n|<q|a_{n-1}|\). Ersetzen wir jetzt in der ersten Ungleichung das \(|a_n|\) damit erhalten wir \(|a_{n+1}|<q|a_n|<q^2|a_{n-1}|\). Jetzt solltest du erkennen, dass wir immer so weitermachen können: \(|a_{n+1}|<q|a_n|<q^2|a_{n-1}|<q^3|a_{n-2}|<q^4|a_{n-3}|<\ldots\) Das können wir bis zu \(|a_N|\) machen, denn nur bis dahin gilt die Ungleichung lt. Aufgabenstellung. Also erhalten wir eine Ungleichung der Form \(|a_n|\leq q^{n-N}|a_N|\) und für festes \(N\) und wachsendes \(n\) wird das beliebig klein.

Das ist der Ansatz, auf den man mit ein bisschen Übung schnell kommt. Nun muss man das für einen sauberen Beweis formaler aufschreiben. Am besten beweist du mit vollständiger Induktion, dass \(|a_n|<q^{n-N}|a_N|\) für alle \(n>N\) gilt. Wende dann den Limes für \(n\to\infty\) auf beide Seiten der Ungleichung an, du erhälst \(\lim_{n\to\infty}|a_n|\leq q^{-N}|a_N|\lim_{n\to\infty}q^n\). Da \(0<q<1\), konvergiert \(q^n\) gegen \(0\), das weißt du wahrscheinlich. Also konvergiert auch \(|a_n|\) gegen \(0\) ("\(\leq\)" hast du gerade gezeigt, und "\(\geq\)" ist klar, da Beträge nichtnegativ sind). Jetzt musst du dir nur noch Überlegen, warum daraus folgt, dass \(a_n\) gegen \(0\) konvergiert.