Die Lösungsmenge des LGS sollte sich natürlich nicht ändern, denn die hat ja nichts mit dem Verfahren zu tun. Wenn du also wirklich unterschiedliche Mengen erhalten hast, dann hast du dich verrechnet.
Allerdings gibt es auch Lösungen, die unterschiedlich aussehen, aber die Gleiche Menge beschreiben. Zum Beispiel beschreiben \(\{t\cdot(1,2,-3) \ |\ t\in\mathbb R)\}\) und \(\{(-2t,-4t,6t) \ |\ t\in\mathbb R\}\) die gleichen Mengen, nur mit einer anderen Parametrisierung. Das sieht man hier noch recht leicht, aber wenn man mehr als einen Parameter hat, dann ist das vielleicht nicht mehr so offensichtlich.
Du kannst gerne Bilder von deinen beiden Lösungen hochladen, dann können wir darüber schauen, ob beide korrekt sind oder du dich verrechnet hast.