Dass diese Umformung verwirrt, ist verständlich. Wer denkt sich sowas aus? Erst den Bruch auf zwei Brüche verteilen, dann wieder auf den Hauptnenner bringen? Es ist vertane Zeit sich darüber den Kopf zu zerbrechen.

Nimm die erste Zeile (die hat ja schon den Nenner der dritten Zeile), multiplizier die 2 in die Klammer rein, und klammere dann \(e^{2x}\) aus (Achtung Potenzrechenregeln beachten!). Was erhält man dann?.

Erweitere Zähler und Nenner des linken Terms mit \( (e^{4x}+1) \)

Im Zähler erhältst du dann

\( 4e^{2x}(e^{4x}+1)-8e^{6x}= \)  

\( 4e^{6x}+4e^{2x} -8e^{6x}=\)  

\( -4e^{6x}+4e^{2x} =\)

\( (-1)(4e^{6x}-4e^{2x})=\)   

\((-1)(4e^{2x})(e^{4x}-1) \)