Stetigkeit

Aufrufe: 66     Aktiv: 04.01.2022 um 20:32

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Moin, wir haben folgende Aufgabe und einen Lösungsvorschlag dazu: $ f: R→R, f(x)= x ,$ falls $ x \in  Q  $, $0$ falls $x\in$ $R\Q$. Zeige, dass f nur in 0 stetig ist.

Dazu haben wir wie folgt gezeigt, dass f in 0 stetig ist: Zu gegebenem ε > 0 wählen wir δ = ε. Hiermit gilt $|f(x) − f(0)| = |f(x)| ≤ |x| < ε$ für alle $x ∈ R$ mit $|x| < δ = ε$.
Dies erscheint mir logisch, da ich nur die $δ -ε$ Argumente nutze. Für den Bereich ohne 0 wurde dies begründet, da in jedem Intervall $(x_0 − δ, x_0 + δ)$ sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen. Hier verstehe ich nun nicht, was dies mit der Unstetigkeit zutun hat und woher ich weiß, dass in dem Intervall rationale und irrationale Zahlen liegen. 

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Das liegt daran, dass \(\mathbb{Q}\) dicht in \(\mathbb{R}\) liegt, also passt da auch eine Kugel drum.
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Danke schonmal für die Antwort. Das Q dicht in R liegt habe ich schon mal bewiesen in einer Aufgabe, jedoch sagt mir der Begriff Kugel da nichts. Was bedeutet das denn?
  ─   jp2402 04.01.2022 um 15:47

Als Hilfe haben wir die Aussage bekommen: Sei $D \in R$ , $x_0 \in R$ Dann ist $x_0$ genau dann ein Häufungspunkt von $D$,
wenn für jedes $ε> 0$ ein $x \in D$ mit $0 < |x − x_0| < ε$ existiert.
Hilft dies irgendwie vielleicht?
  ─   jp2402 04.01.2022 um 16:59

Also das Intervall \((x_0 -\delta,x_0+\delta)\) ist eine Kugel \(B_{\delta}(x_0)\) um \(x_0\). Damit \(f\) in \(x_0\) stetig ist, muss ein \(\delta >0\) existieren, so dass \(f(B_{\delta}(x_0))\subseteq B_{\varepsilon}(f(x_0))\) für alle \(\varepsilon \in \mathbb{R}^+\). Exemplarisch ist für \(x_0 \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) aber \(B_{\varepsilon}(f(x_0))=(-\varepsilon, \varepsilon)\).   ─   mathejean 04.01.2022 um 18:08

Da steige ich nicht so wirklich durch leider. Kugeln hatten wir wohl noch nicht. Lässt sich die die Hilfsaussage aus meinem Kommentar irgendwie nutzen, um zu zeigen, dass f dort nicht stetig ist?   ─   jp2402 04.01.2022 um 18:54

Was soll ein Häufungspunkt beim zeigen der Unstetitigkeit denn bringen? Wenn es ein HP ist weiß man nichts und muss weiter rechnen, ist es kein HP dann ist es dort trivialerweise stetig. Also wenn hilft dir der Hinweis bei 0   ─   mathejean 04.01.2022 um 20:32

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