Moin, wir haben folgende Aufgabe und einen Lösungsvorschlag dazu: $ f: R→R, f(x)= x ,$ falls $ x \in  Q  $, $0$ falls $x\in$ $R\Q$. Zeige, dass f nur in 0 stetig ist.

Dazu haben wir wie folgt gezeigt, dass f in 0 stetig ist: Zu gegebenem ε > 0 wählen wir δ = ε. Hiermit gilt $|f(x) − f(0)| = |f(x)| ≤ |x| < ε$ für alle $x ∈ R$ mit $|x| < δ = ε$.
Dies erscheint mir logisch, da ich nur die $δ -ε$ Argumente nutze. Für den Bereich ohne 0 wurde dies begründet, da in jedem Intervall $(x_0 − δ, x_0 + δ)$ sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen. Hier verstehe ich nun nicht, was dies mit der Unstetigkeit zutun hat und woher ich weiß, dass in dem Intervall rationale und irrationale Zahlen liegen.