Erstellung einer rekursive- expliziten Formel

Aufrufe: 110     Aktiv: 08.04.2024 um 13:07

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Moin, 
bräuchte Hilfe zur folgender Aufgabe: 

Folgende AUsdrücke sind gegeben:

A1= 1
A2= 1+(1+4)
A3= 1+(1+4)+(1+2*4)
A4= 1+(1+4)+(1+2*4)+(1+3*4)

Folgende Fragen dazu:

1.Stelle einen Term auf der das n-te Glied A-n berechnet, noch keine explizite Formel mit gemient also A-n=1+(1+4)+(1+2*4)....+??? n-Glied zum Abschluss.

2. Stelle eine Formel her, mit der man jedes beliebiges A-n berchenen kann. 
Stelle den Lösungsweg anschaulich dar!

Dazu auch einen allgemeinen Tipp, wie kommt man bei so welchen Termen auf eine explizite Formel ?

Freue mich riesig über eine Antwort!😇

Liebe Grüße 

Thilo
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Bei Aufgabe 1 muss man die Regelmäßigkeit erkennen. Dazu schreibe ich mir die n. Glieder von An auf:
1. Glied von A1 = 1
2. Glied von A2 = 1+4
3. Glied von A3 = \(1+2\cdot 4\)
4. Glied von A4 = \(1+3\cdot 4\)

Das 3. und 4. Glied genügen offensichtlich der Formel:

  n. Glied von An    =    \(1+(n-1)\cdot 4\)             (1)

Leider scheinen das 1. und 2. Glied auf den ersten Blick nicht in das Schema zu passen. Auf den zweiten Blick schon, denn:
  A1 = 1 = \(1+0\cdot 4\)
  A2 = 1+4 = \(1+1\cdot 4\)

Also hat man mit (1) eine passende Formel gefunden.

Für die 2. Aufgabe muss man erkennen, dass

  An = (1. Glied von A1) + (2. Glied von A2) + ... + (n. Glied von An) = \sum_{i=1}{n} (i. Glied von Ai) \).

Wegen Gl. (1) folgt:

  An = \sum_{i=1}{n} 1+4(n-1)\).

Das kann man mit der Gaußschen Summenformel berechnen.
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