Maximale Veränderung mit Definitionsbereich, nur Wendepunkt berechnen?

Erste Frage Aufrufe: 50     Aktiv: 21.09.2021 um 00:19

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Guten Tag,
Und zwar wollte ich fragen, wenn in einer Aufgabenstellung bsp. steht, dass 0<x<15 ist, und ich die maximale Veränderung bestimmen muss, reicht es dort dann wenn ich den Wendepunkt berechne, oder sollte ich dann noch einmal jeden Wert also die f´(0), f´(15) und den x-Wert des Wendepunktes bsp. 5 in f ´(x) einsetzen, und dann schauen welcher der Werte am höchsten ist, und somit die maximale Veränderung hat?

Vielen Dank im Vorraus
Gruß Max

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Vermutlich kommt die Aufgabe aus einem schulischen Kontext.
Ich probiere mal eine Antwort, auch auf die Gefahr hin, dass das rein mathematisch betrachtet nicht ganz exakt ist.

Üblicherweise gibt es Aufgaben im Sachzusammenhang, in denen nach der größten Veränderung auf einem vorgegebenen Intervall gefragt wird, in Deinem Fall $0<x<15$.

Problem: Die Grenzen gehören nicht zum Intervall. Dann ist die Funktion dort aber gar nicht definiert, also gibt es dort logischerweise auch keine Ableitung und deshalb keine Änderungsrate.

Normalerweise gehören deshalb in schulischen Aufgaben die Grenzen immer dazu, also $0\leq x\leq 15$. Eine Maschine kann ja auch nicht produzieren oder so.

Selbst wenn die Grenzen nicht dazugehören, kann man sich überlegen, ob die Funktion an den Grenzen nur aufgrund des Sachzusammenhangs abgeschnitten wird, oder ob es einen mathematischen Grund gibt (z.B. wenn dann durch Null geteilt würde).
Dazu: üblicherweise kommen in der Schule entweder Funktionen vor, die man fortsetzen kann, also die künstlich dort abgeschnitten werden.
Der Fall, dass es einen eindeutigen mathematischen Grund gibt, warum dort der Funktionswert nicht existiert, kommt eher selten vor (und vermutlich wenn überhaupt im Leistungskurs).

Nehmen wir die obere Grenze: Wenn die Funktion mathematisch an der Stelle der Grenze existiert und dort auch differenzierbar ist (es würde "linksseitig differenzierbar" ausreichen, weil es ja rechtsseitig sowieso keine Funktionswerte gibt, die betrachtet werden sollen), dann kann man die Steigung an der Stelle der Grenze logischerweise auch berechnen und die Tangente hätte genau diejenige Steigung, mit der der Funktionsgraph knickfrei in die Tangente übergeht.

Wenn die Veränderung an der Grenze also berechnet werden kann (z.B. durch Einsetzen in die Ableitungsfunktion), dann muss man dort auch die Werte mit der Steigung am Wendepunkt vergleichen - also genau so, wie Du es in Deiner Frage vermutet hast.

Der in der Schule seltenere Fall: Falls die Steigung an der Grenze nicht berechnet werden kann, dann müsste man zumindest untersuchen, ob es dort einen uneigentlichen Grenzwert gibt, also ob die Veränderung gegen $+\infty$ oder gegen $-\infty$ strebt. In diesen Fällen werden die Werte der Veränderung auch beliebig groß bzw. beliebig klein (negative Werte...) - auch dann wird die Steigung am Wendepunkt dabei übertroffen, wäre also relevant - aber in der Schule eher eine unübliche Aufgabe.

...und wenn der Operator keine Rechnung verlangt, dann kann man auch gleich den ungefähren Wert an den Grenzen am Taschenrechner ablesen... denke dabei aber an eine ordentliche Dokumentation Deines Vorgehens.


Kurz: Wenn die Werte an den Grenzen bestimmt werden können, dann sollte man es auch machen, sofern es im Sachkontext sinnvoll ist - in der Schule ist es das fast immer.
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In der Regel musst du diese Randwerte nicht ausrechnen, weil die Funktion dort nicht differenzierbar ist. Mit anderen Worten eine Tangentensteigung macht da sowieso keinen Sinn und die Funktion hat dort keine "vernünftige" Steigung!
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und wenn bsp. in einer Aufgabe stehen würde, berechnen sie die maximale Steigung, und dort sind auch Randwerte, kann ich diese dann auch ignorieren? Wenn ja also überall?   ─   user8f545b 20.09.2021 um 18:18

Wichtig! Du kannst eine Ableitung nicht sinnvoll an Randpunkten berechnen! D.h. eine Steigung gibt es da gar nicht!

Ich würde dir empfehlen es nicht zu ignorieren, sondern zu begründen, warum du die Randwerte nicht angeschaut hast. Dann bist du auf der sichereren Seite.
  ─   math stories 20.09.2021 um 21:13

@math stories: ich wage das zu bezweifeln.

Beispiel 1: $f(x)=x^2$, definiert eingeschränkt auf $x\in D=[0;1]$. Dann hat der Graph für $x_0=1$ immer noch die Steigung $2$. Denn: Dür alle Folgen mit $x\to 1$ gilt $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\to 2$. Es können ja nur $x\in D$ vorkommen. Die Ableitung ist eindeutig bestimmbar und auch anschaulich sinnvoll.
(Einseitige Differenzierbarkeit: https://www.uni-due.de/~hn213me/sk/rogge/Ana25.pdf )


Beispiel 2: Vermutlich ist unstrittig, dass die Funktion kurz vor dem Rand differenzierbar ist und dort eine Steigung existiert. Wenn dort bereits der Wert der Steigung größer ist als am Wendepunkt, dann wäre es sogar egal ob an der Grenze der Grenzwert existiert. Am Wendepunkt ist die Steigung in diesem Fall nicht maximal - und es gehört zur Aufgabe, das zu prüfen. Wie wäre denn in diesem Fall Dein Vorgehen, damit der Fall richtig entschieden wird, wenn es richtig knapp ist?


Hinweis: Bei mehrdimensionalen Definitionsbereichen liegt die Sache mit dem Rand anders. Aber hier war es offensichtlich eindimensional.
  ─   joergwausw 20.09.2021 um 22:13

Ich gehe stark davon aus, dass der Fragesteller hier einfach wieder geschlampt hat, weil der Unterschied zwischen $<$ und $\leq$ nicht klar bzw. bekannt ist. In den typischen Schulaufgaben mit Sachkontext kommen nur Funktionen auf geschlossenen Intervallen vor, so dass diese Betrachtung hier eigentlich völlig irrelevant ist.   ─   cauchy 21.09.2021 um 00:19

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